2018届二轮复习8-2空间几何体的表面积与体积课件（全国通用）

2018届二轮复习8-2空间几何体的表面积与体积课件（全国通用）

8 . 2 　 空间几何体的表面积与体积 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 多面体的表 ( 侧 ) 面积 因为多面体的各个面都是平面 , 所以多面体的侧面积就是 　　　　　　　　　　　　　　 , 表面积是侧面积与底面面积之和 .   2 . 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 所有侧面的面积之和 2 π rl π rl π ( r 1 +r 2 ) l - 4 - 知识梳理 考点自测 3 . 柱、锥、台和球的表面积和体积 Sh 4 π R 2 - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 与体积有关的几个结论 (1) 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 . (2) 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 . 2 . 长方体的外接球 (1) 球心 : 体对角线的交点 . - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 如果圆柱的一个底面积为 S , 侧面展开图是一个正方形 , 那么这个圆柱的侧面积是 2 π S. ( 　　 ) (2) 设长方体的长、宽、高分别为 2 a , a , a , 其顶点都在一个球面上 , 则该球的表面积为 3 π a 2 . ( 　　 ) (3) 若一个球的体积为 π , 则它的表面积为 12 π . ( 　　 ) (4) 在 △ ABC 中 , AB= 2, BC= 3, ∠ ABC= 120 ° , 使 △ ABC 绕直线 BC 旋转一周所形成的几何体的体积为 9 π . ( 　　 ) (5) 将圆心角为 , 面积为 3 π 的扇形作为圆锥的侧面 , 则圆锥的表面积等于 4 π . ( 　　 ) × × √ × √ - 7 - 知识梳理 考点自测 C - 8 - 知识梳理 考点自测 3 . (2017 全国 Ⅲ , 文 9) 已知圆柱的高为 1, 它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 , 则该圆柱的体积为 ( 　　 ) B - 9 - 知识梳理 考点自测 4 . (2017 天津 , 文 11) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 , 若这个正方体的表面积为 18, 则这个球的体积为 　　　　　 .   5 . (2017 宁夏石嘴第三中学模拟 , 理 15) 三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上 , SA ⊥ 平面 ABC , AB ⊥ AC , 又 SA=AB=AC= 1, 则球 O 的表面积为 　　　　　 .   3 π - 10 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 空间几何体的表面积 例 1 (1) 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 , 则该几何体的表面积为 ( 　　 )   　　　　　 　　　　　　　　　　　 A.20 π B.24 π C.28 π D.32 π C - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (2)(2017 广东、江西、福建十校联考 , 文 7) 某几何体的三视图如图所示 , 则它的表面积为 ( 　　 ) A - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 求几何体的表面积的关键是什么 ? 解题心得 1 . 求几何体的表面积 , 关键在于根据三视图还原几何体 , 要掌握常见几何体的三视图 , 并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系 ; 有时候还可以利用外部补形法 , 将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体 . 2 . 求不规则几何体的表面积时 , 通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体 , 先求这些柱、锥、台体的表面积 , 再通过求和或作差求得几何体的表面积 . - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 1 (2017 江西宜春中学 3 月模拟 , 文 7) 某三棱锥的三视图如图所示 , 该三棱锥的表面积是 ( 　　 ) B - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 A - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解析 : (1) 由三视图得几何体如图所示 . - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 空间几何体的体积 ( 多考向 ) 考向 1 　 根据几何体的三视图计算体积 例 2 (1) 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( 　　 ) B - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (2)(2017 河南濮阳一模 , 文 7) 某几何体的三视图如图所示 , 图中四边形都是边长为 2 的正方形 , 两条虚线相互垂直 , 则该几何体的体积是 ( 　　 ) D - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 由三视图求解几何体体积的一般思路是什么 ? - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考向 2 　 求空间几何体的体积 18 π - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 求解几何体体积的一般思路是什么 ? 解题心得 1 . 以三视图为载体考查几何体的体积 , 解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成 , 并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 , 然后在直观图中求解 . 2 . 求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征 , 确定得到计算体积所需要的几何量 . 3 . 计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高 . 4 . 注意求体积的一些特殊方法 : 分割法、补体法、转化法等 , 它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法 , 应熟练掌握 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 2 (1)(2017 山东潍坊一模 , 文 8) 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积为 ( 　　 ) D - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (2) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位 :cm), 则该几何体的体积是 ( 　　 ) C - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 (3) 如图 , 在多面体 ABCDEF 中 , 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形 , 且 △ ADE , △ BCF 均为正三角形 , EF ∥ AB , EF= 2, 则该多面体的体积为 ( 　　 ) A - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 球及其与球有关的切、接问题 A C - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 D - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解析 : (1) 由题意可得平面 ABC 截球面所得的截面圆恰为正三角形 ABC 的外接圆 O' , 设截面圆 O' 的半径为 r , 由正弦定理可得 , 解得 r= 2, 设球 O 的半径为 R , ∵ 球心到平面 ABC 的距离为 1, ∴ 由勾股定理可得 r 2 + 1 2 =R 2 , 解得 R 2 = 5, ∴ 球 O 的表面积 S= 4 π R 2 = 20 π , 故选 A . - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 31 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 32 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 如何求解球的表面积、体积及与球有关的切、接问题中的表面积、体积问题 ? 解题心得 1 . 求解球的表面积、体积问题的关键是求出球的半径 , 一般方法是依据条件建立关于半径的等式 . 2 . 多面体的外接球和内切球问题 , 其解题关键在于确定球心在多面体中的位置 , 找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系 , 结合原有多面体的特性求出球的半径 , 然后利用球的表面积和体积公式进行正确计算 . 常见的方法是将多面体还原到正方体或长方体中再去求解 . 3 . 球的截面问题 , 首先需理解两个基本性质 : 球的任何一个截面都是圆面 , 球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面 . 然后利用性质解三角形求出球的半径 . - 33 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 C B - 34 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 35 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 36 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 . 求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题 , 要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决 . 2 . 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面 . 3 . 与球有关的组合体问题 , 一种是内切 , 一种是外接 . 解题时要认真分析图形 , 明确切点和接点的位置 , 确定有关元素间的数量关系 , 并作出合适的截面图 . - 37 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 1 . 求组合体的表面积时 , 组合体的衔接部分的面积问题易出错 . 2 . 由三视图计算几何体的表面积与体积时 , 由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误 . 3 . 易混侧面积与表面积的概念 . - 38 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 高频小考点 —— 简单几何体的内切球与外接球问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点 , 此类问题实质是解决球的半径长或确定球心 O 的位置问题 , 其中球心的确定是关键 . - 39 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 一、外接球的问题 1 . 必备知识 : (1) 简单多面体外接球的球心的结论 . 结论 1: 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . 结论 2: 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 . 结论 3: 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 . 结论 4: 正棱锥的外接球的球心在其高上 , 具体位置可通过计算找到 . (2) 构造正方体或长方体确定球心 . (3) 利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质 , 确定球心 . 2 . 方法技巧 : 几何体补成正方体或长方体 . - 40 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 二、内切球问题 1 . 必备知识 : (1) 内切球球心到多面体各面的距离均相等 , 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 . (2) 正多面体的内切球和外接球的球心重合 . (3) 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 , 但不一定重合 . 2 . 方法技巧 : 体积分割是求内切球半径的通用做法 . - 41 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 三、典例剖析 典例 1 (2015 全国 Ⅱ , 文 10) 已知 A , B 是球 O 的球面上两点 , ∠ AOB= 90 ° , C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 ( 　　 ) A.36 π B.64 π C.144 π D.256 π 答案 : C 解析 : 由 △ AOB 面积确定 , 若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 上的高最大 , 则其体积才最大 . 因为高最大为半径 R , - 42 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 答案 : A 解析 : 设正方体的棱长为 a , 由 a 3 = 8, 得 a= 2 . 由题意可知 , 正方体的体对角线为球的直径 , - 43 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 典例 3 (2016 全国 Ⅲ , 文 11) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为 V 的球 . 若 AB ⊥ BC , AB= 6, BC= 8, AA 1 = 3, 则 V 的最大值是 ( 　　 ) 答案 : B 解析 : 由题意知要使球的体积最大 , 则它与直三棱柱的若干个面相切 . - 44 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 典例 4 (2017 全国 Ⅱ , 文 15) 长方体的长、宽、高分别为 3,2,1, 其顶点都在球 O 的球面上 , 则球 O 的表面积为 ______________ . 答案 : 14 π 解析 : 由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球 O 的直径 2 R , 即 , 所以球 O 的表面积 S= 4 π R 2 = 14 π . - 45 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 典例 5 (2017 全国 Ⅰ , 文 16) 已知三棱锥 S -ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 , SC 是球 O 的直径 , 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB , SA=AC , SB=BC , 三棱锥 S -ABC 的体积为 9, 则球 O 的表面积为 ______________ . 答案 : 36 π 解析 : 取 SC 的中点 O , 连接 OA , OB. 因为 SA=AC , SB=BC , 所以 OA ⊥ SC , OB ⊥ SC. 因为平面 SAC ⊥ 平面 SBC , 且 OA ⊂ 平面 SAC , - 46 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 反思提升 几何体补成正方体或长方体的情况 . 1 . 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都可构造正方体 . 2 . 三条侧棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都可构造长方体 . 3 . 若已知棱锥含有线面垂直关系 , 则可将棱锥补成长方体或正方体 .