2017-2018学年江苏省盐城市高二下学期期末考试 数学 Word版

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2017-2018 学年江苏省盐城市高二下学期期末考试 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1．已知复数 1 1z ii   (i 为虚数单位)，则 z  ▲ ． 2．某学校高三年级 700 人，高二年级 700 人，高一年级 800 人，若采用分层抽样的办法，从 高一年级抽取 80 人，则全校总共抽取 ▲ 人. 3．命题“ 1x  使得 2 1x  ”是 ▲ 命题. （选填“真”或“假”） 4．从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为 ▲ ． 5．设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0 , 0)a b    的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，右顶点为 A，若 A为线段 1 2F F 的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的伪代码，最后输出的 S 值为 ▲ ． 1 0 While 9 ( 1) 1 End While Pr in t n n S S S S n n n S          （第 6 题图） 7．若变量 x ， y 满足约束条件 1 0 , 2 8 . .0 , 0 ,. x y x y x       „ „ … 则 3z x y  的最大值为 ▲ ． 8．若函数 2 2 4 3, 0,( ) , 0 x x xf x ax bx c x         为偶函数，则 ( 1) ( 1)f f    的值为 ▲ ． 9．(理科学生做)若 6 2( )ax x  展开式中的常数项为 60 ，则实数 a 的值为 ▲ ． (文科学生做) 函数 2 2 3 2018( ) 1 xf x x   的值域为 ▲ ． 10．(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课 程表，要求数学课排在前 3 节，英语课不排在第 6 节，则不同的排法种数为 ▲ 种．（用 数字作答） (文科学生做) 若 tan(2 ) 2   ， tan( ) 3   ，则 tan  ▲ ． 11．已知对任意正实数 1a ， 2a ， 1b ， 2b 都有 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )b b b b a a a a    ，类比可得对任意正实数 1a ， 2a ， 3a ， 1b ， 2b ， 3b 都有 ▲ ． 12．若函数 234 6)1(43)( axxaxxf  在 0x 和 1x 时取极小值，则实数 a 的取值范围 是 ▲ ． 13．若方程 233 4 x m x   有实根，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 14．若 0, 0x y  ，且 1 4 9x yx y     ，则 1 4 x y  的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) （理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量 X ,其概率分布如下表， 数学期望 ( ) 2E X  . （1）求 a 和b 的值； （2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分 X 大于 0 的次数为Y ，求Y 的概率分布与数 学期望. X 0 3 6 P 2 1 a b （文科学生 做）已知集合 )}12lg(|{ 2  xxyxA ， 2{ | 2 8 0}B x x x    ， { | 6}C x x a   . （1）求 A B ； （2）若“ Cx ”是“ x A B  ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 16．(本小题满分 14 分) （理科学生做）如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 4AA  ， 2AB  ，点 M 是 BC 的 中点． （1）求异面直线 1AC 与 DM 所成角的余弦值； （2）求直线 1AC 与平面 1A DM 所成角的正弦值． （第 16 题理科图） （第 16 题文科图） （文科学生做）已知函数 ( ) sin( )( 0, 0, )2 2f x A x A            的部分图象如 图所示. （1）求 , ,A   的值； （2）设函数 ( ) ( ) ( )4g x f x f x   ，求 ( )g x 在[0, ]2  上的单调递减区间. 17．(本小题满分 14 分) （理科学生做）已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 ( 1) 2 n n n naa n a    （ n *N ）． （1）求 2a ， 3a ，并猜想 na 的通项公式； （2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想． （文科学生做）已知数列{ }na 满足 6 5 2n n na  . （1）求 1a ， 2a ， 3a 的值，猜想并证明{ }na 的单调性； （2）请用反证法证明数列{ }na 中任意三项都不能构成等差数列． 18．(本小题满分 16 分) 直角坐标系 xOy 中，椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率为 2 3 ，过点 3(1, )2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）已知点 )1,2(P ，直线l 与椭圆C 相交于 BA, 两点，且线段 AB 被直线OP 平分. ①求直线l 的斜率； ②若 0 PBPA ，求直线l 的方程. 19． (本小题满分 16 分) 如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段 AOB 可视为抛物线的一部分，坐标原点 O 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为 y 轴，灯杆 BC 可视为线段，其所在直线与曲线 AOB 所在的抛物线相切于点 B .已知 2AB  分米，直线 AB x 轴，点 C 到直线 AB 的 距离为 8 分米.灯杆 BC 部分的造价为 10 元/分米；若顶点O 到直线 AB 的距离为 t 分米， 则曲线段 AOB 部分的造价为 20 3 t 元. 设直线 BC 的倾斜角为，以上两部分的总造价为 S 元. （1）①求 t 关于的函数关系式； ②求 S 关于的函数关系式； （2）求总造价 S 的最小值. xO y A B C 20．(本小题满分 16 分) 设函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x .若不等式 ( ) ( )f x f x 对任意实数 x 恒成立，则称函数 ( )f x 是“超导函数”. （1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明； （2）若函数 ( )g x 与 ( )h x 都是“超导函数”，且其中一个在 R 上单调递增，另一个在 R 上 单调递减，求证：函数 ( ) ( ) ( )F x g x h x 是“超导函数”； （3）若函数 ( )y x 是“超导函数”且方程 ( ) ( )x x   无实根， (1) e  （ e 为自然对 数的底数），判断方程 ln( ln ) x xx x e     的实数根的个数并说明理由. 2017-2018 学年度第二学期高二年级期终考试数学试题 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1. 2 2 2. 220 3. 真 4. 2 3 5.3 6.10 7. 9 8. 2 9. （理） 4 （文） (3,2018] 10. （理） 288 （文） 1 7  11. 2 22 2 3 1 2 31 2 1 2 3 1 2 3 ( )b b b bb b a a a a a a       12. (0,1) 13. [ 2, 7] 14. 9 3 5 2  错误! 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(理科)解：(1)因为 ( ) 2E X  ，所以 10 3 6 22 a b      ， 即 3 6 2a b  ．① …………………………………………………………… ……2 分 又 1 12 a b   ，得 1 2a b  ．② …………………………………………………………………4 分 联立①，②解得 1 3a  ， 1 6b  ． …………………………………………………………………6 分 (2) 1( 0) 2P X   ，依题意知 1(3, )2Y B: ， 故 31 1( 0) ( )2 8P Y    ， 1 2 3 1 1 3( 1) ( ) ( )2 2 8P Y C    ， 2 2 3 1 1 3( 2) ( )2 2 8P Y C    ， 31 1( 3) ( )2 8P Y    ． ……………………………………………………… …………10 分 故Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 Y 的数学期望为 1 3 3 1 3( ) 0 1 2 38 8 8 8 2E Y          ．……………………………………………………14 分 (文科)解： (1)    2 12 0 4 3A x x x x x         , …………………………………………………2 分    2 2 8 0 4 2B x x x x x    „ „ „ ． ……………………………………… …………4 分 则  4 2A B x x  I „ ………………………………………… ………6 分 (2)    6 6 6C x x a x a x a        ， 因为“ x C ”是“ x A B I ”的必要不充分条件， 所以 ( )A B CI 且 ( )A B CI ． ……………………………………………………10 分 由 ( )A B CI ，得 6 4 6 2 a a      „ ，解得 4 2a  „ ． ……………………………………………………12 分 经检验，当 4 2a  „ 时， ( )A B CI 成立， 故实数 a 的取值范围是 ( 4,2] ． ……………………………………………………14 分 16．(理科)解：在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以 D 为原点，DA 、DC 、 1DD 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系 D xyz ． 因为 (1,2,0)M ， (2,0,0)A ， 1(0,2,4)C ， 所以 (1,2,0)DM  uuuur ， 1 ( 2,2,4)AC   uuur ， ……………………………………………………………2 分 所以 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 2 2 0 4 30cos , 301 2 0 ( 2) 2 4 DM ACDM AC DM AC                uuuur uuuruuuur uuur uuuur uuur ， 所以异面直线 1AC 与 DM 所成角的余弦值为 30 30 ． ……………………………………………………6 分 (2) 1 (2,0,4)DA  uuur ，设平面 1A DM 的一个法向量为 ( , , )n x y z r ． 则 1 0 0 DA n DM n      uuur r uuuur r ，得 2 4 0 2 0 x z x y      ，取 1y  ，得 2x   ， 1z  ， 故平面 1A DM 的一个法向量为 ( 2,1,1)n   r ． ………………………………………10 分 于是 1 1 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 2 1 4 1 5cos , 6( 2) 2 4 ( 2) 1 1 n ACn AC n AC                  r uuurr uuur r uuur ， 所以直线 1AC 与平面 1A DM 所成角的正弦值为 5 6 ． ………………………………………………14 分 (文科)解：(1)由图形易得 4A  ， 2 54 ( )12 6        ，解得 2  ， …………………………………………………………………2 分 此时 ( ) 4sin(2 )f x x   ． 因为 ( )f x 的图象过 ( ,4)6  ， 所以 ( ) 46f   ，得 sin( ) 13    ． …………………………………………………………………4 分 因为 2 2     ，所以 5 6 3 6       ， 所以 3 2     ，得 6   ． 综上 4A  ， 2  ， 6   ． …………………………………………………………6 分 (2)由(1)得 ( ) 4sin(2 ) 4sin[2( ) ]6 4 6g x x x       16sin(2 )cos(2 )6 6x x    8sin(4 )3x   ．……10 分 由 32 4 22 3 2k x k     „ „ ，解得 7 24 2 24 2 k kx    „ „ ，其中 k Z ． 取 0k  ，得 7 24 24x  „ „ ， 所以 ( )g x 在 [0, ]2x  上的单调递减区间为 7[ , ]24 24   ．……………………………………………………14 分 17（理科）（1） 2 3 1 1,4 9a a  ，猜想 2 1 n an  . ………………………………………………6 分 （2）当 1n 时，命题成 立； ………………………………………………8 分 假设当 )( *Nkkn  时命题成立，即 2 1 k ak  ， ………………………………………………10 分 故当 1 kn 时， 2 1 2 2 2 1 1 1 1( 1) 2 2 1 ( 1)( 1) 2 k k k kka ka k a k k kk k            ， 故 1 kn 时猜想也成 立. ………………………………………………12 分 综上所述，猜想成立，即 2 1 n an  . ………………………………………………14 分 （文科）（1）计算得 8 23,4 17,2 11 321  aaa ，猜想该数列为单调递减数 列. ………………………2 分 下面给出证明： 111 2 61 2 56 2 5)1(6   nnnnn nnnaa ， 因为 1n ，故 061  n ，所以 01  nn aa 恒成立，即数列为单调递减数 列. ………………………6 分 （2）假设{ }na 中存在三项成等差数列，不妨设为 , ,p q ra a a ( )p q r  这三 项，………………………8 分 由（1）证得数列{ }na 为单调递减数列，则 rpq aaa 2 ，即 6 5 6 5 6 52 2 2 2q p r q p r     ， 两边同时乘以 r2 ，则等式可以化为 )56(2)56(2)56( 1   rpq prqr ， （※） ……………12 分 因为 rqp  ，所以 prqr  ,1 均为正整数，故 1(6 5) 2r qq    与 (6 5) 2r pp   为偶数， 而 6 5r  为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立， 所以假设不成立，故数列{ }na 中任意三项都不能构成等差数 列． ………………………14 分 18．（1）由 2 3e 可得 2 1 a b ， ………………………2 分 设椭圆方程为 1 4 2 2 2 2  b y b x ，代入点 )2 3,1( ，得 1b ， 故椭圆方程为： 14 2 2  yx . ………………………4 分 （2）①由条件知 2: xyOP  ， 设 ),(),,( 2211 yxByxA ，则满足 14 2 1 2 1  yx ， 14 2 2 2 2  yx ， 两式作差得： 04 2 2 2 1 2 2 2 1  yyxx ， ………………………6 分 化简得 0)(4 21 21 21 21   xx yyyyxx ， 因为 AB 被OP 平分，故 2 21 21 xxyy  ， 所以 2 1 21 21   xx yy ，即直线l 的斜率 2 1k . ………………………10 分 ②设直线l 为 txy  2 1 ，代入椭圆方程 14 2 2  yx 可得 0)1(22 22  ttxx ，（＃） 所以 1 2 2x x t  ， 2 1 2 2( 1)x x t  ， 1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 22 2 2y y x t x t x x t t            ， 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1( )( ) ( ) ( 1)2 2 4 2 2 ty y x t x t x x x x t t           ， ……………… ………12 分 故 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1)PA PB x x y y        2 1 2 1 2 1 2 1 2 52( ) 4 ( ) 1 ( 2 1) 02x x x x y y y y t t            ……………… ………14 分 解得 1t ，此时方程（＃）中 0 ， 故所求直线方程为 12 1  xy . ………………………16 分 19.解：（1）①设曲线段 AOB 所在的抛物线的方程为 2 ( 0)y ax a  ，将 (1, )B t 代入 2 ( 0)y ax a  得t a ，故抛物线的方程为 2y tx ，求导得 2y tx  ，故切线 BC 的斜率为 1| 2xk y t  ，而直线 BC 的倾斜角为，故 2 tant  ，t 关于的函数关系为 1 tan (0 )2 2t     .………………………………2 分 ②因为 1 tan (0 )2 2t     ，所以曲线段 AOB 部分的造价为 20 10 tan3 3 t  元， 因为点C 到直线 AB 的距离为 8 分米，直线 BC 的倾斜角为，故 8 sinBC  ，BC 部分的造 价为 80 sin ， 得两部分的总造价为 10 ta3 s nn 80 iS   ， (0 )2   . ………………………………6 分 （2） sin10(3cos 8 )sinS    ， 32 2 22 2 1 cos10( 108cos sin 24) )sin si(3cos n3cosS           …………………8 分 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 cos cos cos cos10( 10(3cos 3 1 cos 24 24 cos 1 10(3 1)(8co cos 3co s 3 1)) )sin sin sins                        ， 其中 2 co8cos 3 1 0s    恒成立，令 0S  得 1cos 3   ，设 0 1cos 3   且 0 为锐 角，…………10 分 列表如下：  0(0, ) 0 0( , )2  S  0  S  极小  …………………………………12 分 故当 0  时 S 有最小值，此时 1cos 3   ， 2 2sin 1 cos 23     ， sin10(3co 8 200 2)sin 3sS     ， ………………………… ………14 分 故总造价 S 的最小值为 200 2 3 元. ……………………………16 分 20.解：（1）举例：函数 ( ) 1f x  是“超导函数”， 因为 ( ) 1f x  ， ( ) 0f x  ，满足 ( ) ( )f x f x 对任意实数 x 恒成立，故 ( ) 1f x  是“超导函 数”. ……4 分 注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分. （2）∵ ( ) ( ) ( )F x g x h x ，∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x g x h x g x h x    ， ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x F x g x h x g x h x g x h x      [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( ) ( )g x g x h x h x g x h x       ………………………………………………… …………6 分 因为函数 ( )g x 与 ( )h x 都是“超导函数”，所以不等式 ( ) ( )g x g x 与 ( ) ( )h x h x 对任意实数 x 都恒成立，故 ( ) ( ) 0g x g x  ， ( ) ( ) 0h x h x  ， ① ………………………………………………………8 分 而 ( )g x 与 ( )h x 一个在 R 上单调递增，另一个在 R 上单调递减，故 ( ) ( ) 0g x h x   ，② 由①②得 ( ) ( ) 0F x F x  对任意实数 x 都恒成立，所以函数 ( ) ( ) ( )F x g x h x 是“超导函 数”. ……10 分 （3）∵ (1) e  ，所以方程 ln( ln ) x xx x e     可化为 ln 1 ( ln ) (1) x x x x e e        ， 设函数 ( )( ) x xG x e  ， x R ，则原方程即为 ( ) (1)lnx xG G  ， ③ ……………………………12 分 因为 ( )y x 是“超导函数”， ∴ ( ) ( )x x  对任意实数 x 恒成立， 而方程 ( ) ( )x x   无实根，故 ( ) ( )( ) 0x x xG x e      恒成立，所以 ( )G x 在 R 上单调递 减， 故方程③等价于 ln 1x x   ，即 1 ln 0x x   ， ……………………………14 分 设 ( )H x 1 lnx x   ， (0, )x  ，则 1( ) 1 0H x x     在 (0, ) 上恒成立， 故 ( )H x 在 (0, ) 上单调递增， 而 2 2 1 1( ) 1 0H e e    ， 1 1( ) 0H e e   ，且函数 ( )H x 的图象在 2 1 1[ , ]e e 上连续不断， 故 ( )H x 1 lnx x   在 2 1 1[ , ]e e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根. ……………………………16 分 注：发现 ln 1x x   但缺少论证过程的扣 4 分.