湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

湖南省怀化市2019-2020学年新博览联考高三（上）期中数学理科试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（　　）‎ A. ,且 B. ,或 C. ,且 D. ,或 3. 已知数列{an}中，“an+12=an•an+‎2”‎是“数列{an}为等比数列”的什么条件（　　）‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 4. 设函数，若，则b等于（　　）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. D. ‎ 5. 已知，则cos2α=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设向量满足，且与的夹角为，则=（　　）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 12 D. ‎ 7. 已知等差数列{an}中，a3+a5=π，Sn是其前n项和．则sinS7等于（　　）‎ A. 1 B. ‎0 ‎C. D. ‎ 8. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 9. 设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知函数f（x）=sinx-cosx，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（　　）‎ A. 函数的值域与的值域相同 B. 若是函数的极值点,则是函数的零点 C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象 D. 函数和在区间上都是增函数 11. 在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（　　）‎ A. B. ‎5 ‎C. 1 D. ‎ 12. 设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．‎ 14. 已知函数f（x）=logax+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．‎ 15. 由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．‎ 16. 用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）=______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=xa-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值． ‎ 3. 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{cn}的前n项和Tn． ‎ 4. 已知函数，， （Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围． ‎ 5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围． ‎ 1. 已知函数，函数g（x）=-2x+3． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}， ∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）． 故选：C． 分别求出集合A，B，由此能求出A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题， 即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0， 故选：D． 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：若数列{an}为等比数列，则满足an+12=an•an+2， 当数列an=0时满足an+12=an•an+2，但此时数列{an}为等比数列不成立， 即“an+12=an•an+‎2”‎是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件， 故选：B． 结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数， 则f（）=4×-b=3-b， 若b≤2，则3-b≥1， 此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1； 若b＞2，则3-b＜1， 此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍） 故b=1； 故选：B． 根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案． 本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：已知， 所以， 利用三角函数的定义，解得， 故cos2α=1-2sin2α=． 故选：A ‎． 直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的定义及倍角公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ∴， ∴=． 故选：D． 根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值． 本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：等差数列{an}中，a3+a5=π， ∴==， ∴sinS7==sin（-）=-sin=-1． 故选：C． 由等差数列{an}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sinS7． 本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由于， 所以， 解得A=， 由于a=，c=1， 所以， 解得， 由于c＜a， 所以． 故选：A． 直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1）， ∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数， 当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数， 即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数， log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1）， ∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数， ∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c， 故选：A． 根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键． ‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=sinx-cosx，∴g（x）=f'（x）=cosx+sinx， 对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确； 对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z； 解得x0=kπ+，k∈Z；， g（x0）=sin（kπ+-）=0， ∴x0也是函数g（x）的零点，B正确； 对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位， 得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cosx-sinx≠g（x），∴C错误； 对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数， x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确． 故选：C． 求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：以A 为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1， 设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ）， ∴， 2λ+μ的最小值是3-． 故选：D． 建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围． 本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数， 可得f′（x）=-， ∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0， 即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z， ∴可转化为：， 即k‎2m2‎+3＜m2，k∈Z，即， 要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可， 又k2的最小值为0，∴，解得或， 故选：B． 求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k‎2m2‎+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题． 13.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：∵y=ax+lnx， ∴y′=a+，则y′|x=1=a+1， ∴曲线y=y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1）， ∵曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线过点（2，3）， ‎ ‎∴3-a=（a+1）（2-1）， 解得：a=1． 故答案为：1． 求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求． 本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 14.【答案】或3 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题． 分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解． 【解答】‎ 解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数， 由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=； 当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有， 解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3． 综上可得：a+b的值为或3． 故答案为：或3．‎ ‎ 15.【答案】3-2ln2 ‎ ‎【解析】解：依题意，由解得， ∴封闭的图形面积为=（x2-2lnx）=3-2ln2． 故答案为：3-2n2． 求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可． 本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n， 令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1）， 则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1） =1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2） = =4n+f（n）， 即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1， 所以，从而，令n=2019， 则所求为：． 故答案为：． 据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）． 本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题． 17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2， 幂函数y=xa-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1‎ ‎， 由题意知p与q一真一假， 当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2， 当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2， 综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]． ‎ ‎【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查． 18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有， =， =， 所以f（x）的最小正周期：． 由 得f（x）的单调递减区间是  ． （Ⅱ）由（1）知， 因为，所以． 要使f（x）在区间上的最小值为1， 即在区间上的最小值为-1． 所以，即． 所以m的最小值为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． （Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：， 解得：或． 故或． （Ⅱ）由d＞1，知an=2n-1，， 故． 于是：①， ② ①-②得：， 故． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点， ∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0， ∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增， 从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5， 由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点， ∴函数f（x）有两个零点时实数a 的范围为：． （Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]， 当m=0时，，显然成立； 当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴， 记，由题意得：B⊆A， ∴且，解得：， 当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴， ∴且，得， 综上，所求实数m的取值范围为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围． （Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：， 再由正弦定理得：， ∵B=π-（A+C）， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC② 又C∈（0，π），由①②得， ，又A∈（0，π）， ∴． （Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA得b2+c2-bc=9 即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而，得b+c≤6， 又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]； 法二：由正弦定理得：， ∴，又， 从而△ABC的周长L：= ，，∴，∴， 从而：L∈（6，9]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A； （Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围． 本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=lnx-x2+x． ∵． 易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减， ∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值． （Ⅱ）． ∴． ①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增； ②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得， 所以F（x）在单调递增，在单调递减． 综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减． （Ⅲ）由题知t≥0，． 当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2‎ ‎． 又g（x）单调递减， ∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]． 即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立， 记，则h（x）在[1，2]递减．  对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立． 令． 则 在[1，2]上恒成立， 则， 而在[1，2]单调递增， ∴， ∴． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=lnx-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值． （Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间． （Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]． 即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．  对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围 本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题． ‎