高考数学 17-18版 第6章 第30课 课时分层训练30

高考数学 17-18版 第6章 第30课 课时分层训练30

课时分层训练(三十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．如图302，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：‎ 图302‎ ‎①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．(填序号)‎ ‎①③　[①中，不共线；③中，不共线．]‎ ‎2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于________．(用a，b表示) 【导学号：62172163】‎ a－b　[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴∴c＝a－b.]‎ ‎3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．‎ ‎－3　[∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ ‎∴∴∴m－n＝2－5＝－3.]‎ ‎4．(2017·苏州模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.‎ ‎－1　[∵a＝(x,1)，b＝(2，y)，‎ ‎∴a＋2b＝(x＋4,1＋2y)，‎ ‎∴即 ‎∴x＋y＝－1.]‎ ‎5．(2017·南京模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a∥(‎2a＋b)，则实数m 的值为________．‎ ‎2　[∵a＝(1,2)，b＝(m,4)，‎ ‎∴2a＋b＝(2＋m,8)．‎ 又a∥(2a＋b)，故8＝4＋2m，即m＝2.]‎ ‎6．(2017·无锡期中)如图303，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 图303‎ 　[∵＝＝，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴＝－＝－＝(＋)－ ‎＝－＋＝＋ 又＝λ＋μ，∴λ＝μ＝.‎ ‎∴λ＋μ＝.]‎ ‎7.如图304，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．‎ 图304‎ b－a　b－a　a－b　[＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.]‎ ‎8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.‎ ‎(－6,21)　[∵Q是AC的中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ ‎∴＝2－＝(2,10)－(4,3)‎ ‎＝(－2,7)．‎ 又＝2＝(－4,14)，‎ ‎∴＝＋＝(－4,14)＋(－2,7)＝(－6,21)．]‎ ‎9．(2017·南京模拟)如图305，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________. 【导学号：62172164】‎ 图305‎ 　[设＝k，k∈R.‎ 因为＝＋＝＋k ‎＝＋k(－)‎ ‎＝＋k ‎＝(1－k)＋，‎ 且＝m＋，‎ 所以1－k＝m，＝，‎ 解得k＝，m＝.]‎ ‎10．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是________．‎ ‎8　[∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，‎ 化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，‎ ‎∴＋＝×(2x＋3y)‎ ‎＝≥×＝8，‎ 当且仅当＝时，等号成立，‎ ‎∴＋的最小值是8.]‎ 二、解答题 ‎11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). ‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标. 【导学号：62172165】‎ ‎[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.‎ ‎(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．‎ ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5，－3)．‎ ‎12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.‎ ‎[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以解得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图306所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.‎ 图306‎ ‎4　[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，‎ 即 解得∴＝4.]‎ ‎2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图307所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．‎ 图307‎ ‎2　[以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1,0)，B.‎ 设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，‎ 得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，‎ 又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.]‎ ‎3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．‎ ‎[解]　(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)‎ ‎＝(4t2,2t1＋4t2)．‎ 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．‎ ‎∵＝－＝(4,4)，‎ ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，‎ ‎∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线．‎ ‎4．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0.‎ ‎(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；‎ ‎(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为四边形OACB是平行四边形，‎ 所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，‎ 解得 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，‎ 由A，B，C三点共线，得∥，‎ 所以－a(2－b)－2b＝0，‎ 即2(a＋b)＝ab，‎ 因为a>0，b>0，‎ 所以2(a＋b)＝ab≤2，‎ 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，‎ 解得a＋b≥8或a＋b≤0.‎ 因为a>0，b>0，‎ 所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.‎ 当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．‎