【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第3讲等比数列及其前n项和作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第3讲等比数列及其前n项和作业

A组　基础关 ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案　D 解析　不妨设公比为q，则a＝aq4，a1·a9＝aq8，a2·a6＝a·q6，当q≠±1时，知A，B均不正确；又a＝aq6，a2·a8＝aq8，同理，C不正确；由a＝aq10，a3·a9＝aq10，知D正确．故选D.‎ ‎2．(2018·天水市秦州区三模)设△ABC的三内角A，B，C成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则这个三角形的形状是(　　)‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　由题意得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，‎ 所以B＝，‎ 又因为sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac.‎ 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，‎ 所以a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c.‎ 所以△ABC是等边三角形．‎ ‎3．(2018·天津武清区模拟)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1，则q>1或q<－1，当q<－1时，‎ 数列为摆动数列，则“数列{an}为递增数列”不成立，‎ 即充分性不成立，‎ 若“数列{an}为递增数列”，则a10，∴a2>0，‎ 则“a0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C. D. 答案　B 解析　将已知两式作差得S4－S2＝3a4－3a2，所以a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a2q－2a2q2＝0.所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．得q＝代入S2＝3a2＋2，即a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.‎ ‎7．(2018·山西太原质检)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝(　　)‎ A．1－4n B．4n－1‎ C. D. 答案　B 解析　因为q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3，所以bn＝b1qn－1＝－3×(－4)n－1，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3×4n－1，即数列{|bn|}是首项为3，公比为4的等比数列，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1，故选B.‎ ‎8．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则q＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由等比数列的性质得a＝a3a5，‎ 又因为a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，‎ 解得a4＝2.‎ 又a1＝，所以q3＝＝8，解得q＝2.‎ ‎9．已知等比数列{an}满足a1＝1，a2a4＝9，则a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝________.‎ 答案　 解析　由a2a4＝9知a＝9，结合a1＝1，a3＝a1q2知a3＝3，即q2＝3，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝＝＝.‎ ‎10．(2018·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.‎ 答案　14‎ 解析　设bn＝anan＋1an＋2.‎ 等比数列{an}的公比为q，则 ＝＝q3.‎ 所以数列{bn}是等比数列，设其公比为q1，‎ 又b1＝a1a2a3＝4，b4＝a4a5a6＝12.‎ 又bn－1＝an－1anan＋1＝324.‎ 所以4×q＝324，‎ B组　能力关 ‎1．(2018·北京高考)“十二平均律”‎ 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)‎ A.f B.f C.f D.f 答案　D 解析　由已知，单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，记为{bn}，共有13项．由等比数列的通项公式可知，b8＝b1q7＝f×()7＝f.‎ ‎2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a2n＝________.‎ 答案　 解析　由an＋an＋1＝得a1＋a2＝，a3＋a4＝，a5＋a6＝，…，a2n－1＋a2n＝，所以a1＋a2＋…＋a2n＝＋＋＋…＋＝＝.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．‎ 答案　64‎ 解析　等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，‎ 可得q(a1＋a3)＝5，解得q＝.‎ 由a1＋q2a1＝10，解得a1＝8.‎ ‎4．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ 解　(1)由已知，设{an}的公差为d，则 由a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝5ln 2，‎ 又a1＝ln 2，‎ 所以d＝ln 2，所以{an}的通项公式为an＝ln 2＋(n－1)·ln 2＝nln 2(n∈N*)．‎ ‎5．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；‎ ‎(2)求T2n.‎ 解　(1)∵an·an＋1＝n，‎ ‎∴an＋1·an＋2＝n＋1，‎ ‎∴＝，即an＋2＝an.‎ ‎∵bn＝a2n＋a2n－1，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵a1＝1，a1·a2＝，‎ ‎∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.‎ ‎∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎∴bn＝×n－1＝.‎ ‎(2)由(1)可知，an＋2＝an，‎ ‎∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.‎