2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题 一、单选题 ‎1．化为弧度是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，则.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角度制与弧度制的互化.‎ ‎2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）‎ A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56‎ C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据系统抽样原则，可知编号成公差为的等差数列，观察选项得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列 选项编号公差为；选项编号不成等差；选项编号公差为；可知错误 选项编号满足公差为的等差数列，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题.‎ ‎3．sin300°的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式化简，再求出值为.‎ ‎【详解】‎ 因为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.‎ ‎4．已知向量，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出的模长，然后由可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，所以与的夹角为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.‎ ‎5．如图，一个边长为的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何概型直接进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 月牙形图案的面积约为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的应用，属于基础题.‎ ‎6．已知是第三象限的角，若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为是第三象限的角，所以，‎ 因为，所以解得：，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.‎ ‎7．已知，则的值域为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 因为函数的周期，‎ 所以函数的值域为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.‎ ‎8．如图，在中，，用向量，表示，正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用.‎ ‎9．已知，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，又因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎10．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）‎ A.2800 B.3000 C.3200 D.3400‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.‎ ‎【详解】‎ 高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，‎ 高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎11．某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填(　　)‎ A．k>3? B．k>4?‎ C．k>5? D．k>6?‎ ‎【答案】A ‎【解析】程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：‎ 可得,当 时， 此时应该结束循环体，并输出 为 ，所以判断框应该填入的条件为 ，故选. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎12．已知，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量的数量积得，对任任意的，恒成立，转化成关于的一次函数，保证在和的函数值同时小于0即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为对任意的恒成立，则，‎ ‎，‎ 解得：，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换及不等式恒成立问题，求解的关键是变换主元的思想，即把不等式看成是关于变量的一次函数，问题则变得简单.‎ 二、填空题 ‎13．若数据的平均数为，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据求平均数的公式，得到关于的方程，求得.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，解得：，故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求一组数据的平均数，考查基本数据处理能力.‎ ‎14．已知函数，该函数零点的个数为_____________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】令，可得或；当时，可解得为函数一个零点；当时，可知，根据的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数.‎ ‎【详解】‎ 令，可得：或 当时，或（舍） 为函数的一个零点 当时，，‎ ‎ ，为函数的零点 综上所述，该函数的零点个数为：个 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.‎ ‎15．已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】在方向上的投影为，把向量坐标代入公式，构造出关于的方程，求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 解得：，故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.‎ ‎16．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知．‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式化简即得；（2）利用同角的平方关系求出的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎．‎ ‎（2）因为，且，所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）若三点共线，求的关系；‎ ‎（2）若,求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).‎ ‎【解析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，．‎ ‎（1）∵三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎ (2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．‎ ‎19．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料 ‎ ‎ ‎(1)画出数据的散点图，并判断y与x是否呈线性相关关系 ‎(2)若y与x呈线性相关关系，求线性回归方程的回归系数，‎ ‎(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?‎ 参考公式及相关数据: ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），；（3）12.38万元 ‎【解析】（1）在坐标系中画出5个离散的点；‎ ‎（2）利用最小二乘法求出，再利用回归直线过散点图的中心，求出；‎ ‎（3）将代入（2）中的回归直线方程，求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）散点图如下：‎ 所以从散点图年，它们具有线性相关关系.‎ ‎（2），，‎ 于是有，‎ ‎.‎ ‎（3）回归直线方程是 当时，（万元），‎ 即估计使用年限为10年时，维修费用是万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当时，的值，考查数据处理能力.‎ ‎20．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)‎ ‎(1)试计算这12份成绩的中位数；‎ ‎(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些?‎ ‎【答案】(1)80；(2) （1）班.‎ ‎【解析】（1）从茎叶图可直接得到答案；‎ ‎（2）通过方差公式计算出两个半的方差，方差更小的更稳定.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为.‎ ‎（2）由表中数据，易得（1）班的6份成绩的平均数，（2）班的6份成绩的平均数，所以（1）班的6份成绩的方差为；（2）班的6份成绩的方差为.所以有，说明（1）班成绩波动较小，（2）班两极分化较严重些，所以（1）班成绩更稳定.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查中位数，平均数，方差的相关计算和性质，意在考查学生的计算能力及分析能力，难度不大.‎ ‎21．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.‎ ‎(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?‎ ‎(2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?‎ ‎【答案】(1)12600；(2) .‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；‎ ‎（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.‎ ‎（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.‎ ‎22．已知，函数，.‎ ‎（1）若在上单调递增，求正数的最大值；‎ ‎（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，‎ 得，.‎ 因为在上单调递增，‎ 令，得时单调递增，‎ 所以解得，可得正数的最大值为.‎ ‎（2），‎ 设，当时，.它的图形如图所示.‎ 又，则，，令，‎ 则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.‎ ‎①当0为的零点时，显然不成立；‎ ‎②当为的零点时，由，得，把代入中，‎ 得，解得，，不符合题意.‎ ‎③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；‎ 若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，‎ 所以解得.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.‎