成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测 理科数学（清晰扫描）

成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测 理科数学（清晰扫描）

数学(理科)“三诊”考试题参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 成都市 ２０１６ 级高中毕业班第三次诊断性检测 数学(理科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷 　(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．A;２．D; ３．B;４．B;５．D; ６．C; ７．A; ８．B; ９．D; １０．B;１１．D;１２．C． 第 Ⅱ 卷 　(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．８０;　　１４．９ ４ ; 　　 １５．４ ７ ; 　　１６．４π ．　 三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)由已知,得 sinAcosB ＝１ ２sinB ＋sinC ． 又 sinC ＝sin(A ＋B), ƺƺ１ 分 ∴sinAcosB ＝１ ２sinB ＋sinAcosB ＋cosAsinB ． ƺƺ２ 分 ∴cosAsinB ＋ １ ２sinB ＝０,得 cosA ＝－１ ２ ． ƺƺ４ 分 ∵０＜ A ＜π,∴ A ＝２π ３ ． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)sin ２B ＋sin ２C ＋sinBsinC ＝sin ２AŰsin ２B ＋sin ２C ＋sinBsinC sin ２A ƺƺ７ 分 ＝３ ４Ű b２ ＋c２ ＋bc a２ ． ƺƺ８ 分 由余弦定理,得a２ ＝b２ ＋c２ －２bccos２π ３ ＝b２ ＋c２ ＋bc ． ƺƺ１０ 分 综上,得 sin ２B ＋sin ２C ＋sinBsinC ＝３ ４ ． ƺƺ１２ 分 １８． 解:(Ⅰ)连结AC．∵PA ＝PD ,且E 是AD 的 中点,∴PE ⊥ AD ． ƺƺ１ 分 ∵ 平面PAD ⊥ 平面 ABCD , 平面PAD ∩ 平面 ABCD ＝AD , ∴PE ⊥ 平面 ABCD ．　 ƺƺ２ 分 ∵BD ⊂ 平面 ABCD , ∴BD ⊥PE ． ƺƺ３ 分 又 ABCD 为菱形,且E,F 为棱的中点, ∴EF ∥ AC,BD ⊥ AC ． 数学(理科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) ∴BD ⊥EF ． ƺƺ４ 分 又BD ⊥PE ,PE ∩EF ＝E ,PE,EF ⊂ 平面PEF , ∴BD ⊥ 平面PEF ． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵ 四边形 ABCD 为菱形,且 ∠BAD ＝６０°,∴EB ⊥ AD． 分别以EA,EB,EP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz ． ƺƺ７ 分 设 AD ＝１,则 D(－ １ ２ ,０,０),B(０,３ ２ ,０),P(０,０,３ ２ )． 设平面PBD 的法向量为n＝(x,y,z)． 由 nŰDB→ ＝０ nŰDP→ ＝０ { ,得 x＋ ３y＝０ x＋ ３z＝０ { ．令x＝ ３ ,得n＝(３,－１,－１)． ƺƺ９ 分 取平面 APD 的法向量为m ＝(０,１,０)． ƺƺ１０ 分 ∴cos＜ m,n ＞＝－ １ ５ ＝－ ５ ５ ． ƺƺ１１ 分 ∵ 二面角B－PD－A 为锐二面角, ∴ 二面角B－PD－A 的余弦值为 ５ ５ ． ƺƺ１２ 分 １９．解:(Ⅰ)由 (０．００７＋０．０１６＋a＋０．０２５＋０．０２０)×１０＝１,解得a＝０．０３２． ƺƺ２ 分 保险公司每年收取的保费为: １００００(０．０７x＋０．１６×２x＋０．３２×３x＋０．２５×４x＋０．２０×５x)＝１００００×３．３５x ． ƺƺ４ 分 ∴ 要使公司不亏本,则 １００００×３．３５x ≥１００００００,即 ３．３５x ≥１００． ƺƺ５ 分 解得x ≥ １００ ３．３５≈２９．８５．∴x０＝３０． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)① 若该老人购买了此项保险,则 X 的取值为 １５０,２１５０． ∵P(X ＝１５０)＝４９ ５０ ,P(X ＝２１５０)＝ １ ５０ , ƺƺ７ 分 ∴EX ＝１５０×４９ ５０ ＋２１５０× １ ５０ ＝１４７＋４３＝１９０(元)． ƺƺ８ 分 ② 若该老人没有购买此项保险,则Y 的取值为 ０,１２０００． ∵P(Y ＝０)＝４９ ５０ ,P(Y ＝１２０００)＝ １ ５０ , ƺƺ９ 分 ∴EY ＝０×４９ ５０ ＋１２０００× １ ５０ ＝２４０(元)． ƺƺ１０ 分 ∵EY ＞EX , ∴ 年龄为 ６６ 的该老人购买此项保险比较划算． ƺƺ１２ 分 ２０．解:(Ⅰ)由已知,得b＝１． ƺƺ１ 分 设 A(x１,y１),B(x２,y２)． 由 x１ ２ a２ ＋ y１ ２ b２ ＝１ x２ ２ a２ ＋ y２ ２ b２ ＝１ ì î í ï ïï ï ï ,两式相减,得y１ －y２ x１ －x２ ＝－b２ a２Ű x１ ＋x２ y１ ＋y２ ． ƺƺ２ 分 数学(理科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ４ 页) 根据已知条件,知当x１＋x２ y１＋y２ ＝－２ 时, y１－y２ x１－x２＝１,∴ b２ a２ ＝１ ２ ,即a＝ ２ ． ƺƺ４ 分 ∴ 椭圆C 的标准方程为x２ ２ ＋y２ ＝１． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)当直线l斜率不存在时,|OP|＝１＜ ３ ,不等式成立． ƺƺ ６ 分 当直线l斜率存在时,设l:y＝kx＋m ． 由 y＝kx＋m x２ ＋２y２ ＝２ { ,得(２k２ ＋１)x２ ＋４kmx＋２m２ －２＝０． ∴x１＋x２＝ －４km ２k２ ＋１ ,x１x２＝２m２ －２ ２k２ ＋１ ,Δ＝１６k２ －８m２ ＋８＞０． ƺƺ７ 分 ∴M ( －２km ２k２ ＋１ , m ２k２ ＋１ ),|OM |２ ＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)２Űm２． ƺƺ８ 分 由|AB|＝ １＋k２ Ű２ ２Ű １＋２k２ －m２ ２k２ ＋１ ＝２, 化简,得 m２ ＝２k２ ＋１ ２k２ ＋２ ． ƺƺ９ 分 ∴|OM |２ ＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)２Ű２k２ ＋１ ２k２ ＋２ ＝ ４k２ ＋１ (２k２ ＋１)(２k２ ＋２) ． ƺƺ１０ 分 令 ４k２ ＋１＝t≥１．则 |OM| ２ ＝ ４t (t＋１)(t＋３) ＝ ４ t＋ ３t ＋４ ≤ ４ ２ ３＋４ ＝４－２ ３, 当且仅当t＝ ３ 时取等号． ∴|OM|≤ ４－２ ３＝ ３－１． ƺƺ１１ 分 ∵|OP|≤|OM|＋１,∴|OP|≤ ３ ,当且仅当k２ ＝ ３－１ ４ 时取等号． 综上,|OP|≤ ３ ． ƺƺ１２ 分 ２１．解:(Ⅰ)当a＝１ 时,f′ (x)＝lnx－４x＋４． ƺƺ１ 分 令F(x)＝f′ (x)＝lnx－４x＋４,则F′ (x)＝１x －４＝１－４x x ． ƺƺ２ 分 ∴ 当x ＞ １ ４ 时,F′ (x)＜０． 即f′ (x)在 (１ ４ ,＋ ¥)内为减函数,且f′ (１)＝０ ƺƺ３ 分 ∴ 当x ∈ (１ ４ ,１)时,f′ (x)＞０;当x ∈ (１,＋ ¥)时,f′ (x)＜０． ∴f(x)在 (１ ４ ,１)内是增函数,在 (１,＋ ¥)内是减函数． ƺƺ４ 分 综上,x＝１ 是函数f(x)的极大值点． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)由题意,得f(１)≤０,即a ≥１． ƺƺ６ 分 现证明当a＝１ 时,不等式f(x)≤０ 成立,即xlnx－２x２ ＋３x－１≤０． 即证 lnx－２x＋３－ １x ≤０． ƺƺ７ 分 数学(理科)“三诊”考试题参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) 令g(x)＝lnx－２x＋３－ １x ． 则g′ (x)＝１x －２＋ １x２ ＝ －２x２ ＋x＋１x２ ＝ －(２x＋１)(x－１) x２ ． ƺƺ８ 分 ∴ 当x ∈ (０,１)时,g′ (x)＞０;当x ∈ (１,＋ ¥)时,g′ (x)＜０． ∴g(x)在 (０,１)内单调递增,在 (１,＋ ¥)内单调递减． ƺƺ９ 分 ∴g(x)的最大值为g(１)＝０． ƺƺ１０ 分 ∴ 当x ＞０ 时,lnx－２x＋３－ １x ≤０． 即当x ＞０ 时,不等式f(x)≤０ 成立． 综上,整数a 的最小值为 １． ƺƺ１２ 分 ２２．解:(Ⅰ)由 x＝２＋２cosα y＝２sinα{ ,得 ２cosα＝x－２,２sinα＝y ． ∴ 曲线 C 的普通方程为 (x－２)２ ＋y２ ＝４． ƺƺ２ 分 由ρsin(θ＋π ４ )＝ ２ ２ ,得ρsinθ＋ρcosθ＝１． ƺƺ３ 分 ∴ 直线l的直角坐标方程为x＋y＝１． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)设直线l的参数方程为 x＝－ ２ ２ t y＝１＋ ２ ２ t ì î í ï ïï ï ïï (t为参数)． ƺƺ６ 分 代入 (x－２)２ ＋y２ ＝４,得t２ ＋３ ２t＋１＝０． ƺƺ７ 分 设 A,B 两点对应参数分别为t１,t２． ∴t１ ＋t２ ＝－３ ２ ＜０ ,t１t２ ＝１＞０ , ∴t１ ＜０ ,t２ ＜０． ƺƺ８ 分 ∴|MA|＋|MB|＝|t１|＋|t２|＝|t１ ＋t２|＝３ ２ ƺƺ１０ 分 ２３．解:(Ⅰ)当a＝４ 时,f(x)＝x２ －４|x－１|－１＝ x２ －４x＋３,x ≥１ x２ ＋４x－５,x ＜１ { ． ƺƺ１ 分 当x ≥１ 时,f(x)的取值范围为 [－１,＋ ¥); ƺƺ２ 分 当x ＜１ 时,f(x)的取值范围为 [－９,＋ ¥)． ƺƺ３ 分 ∴ 函数f(x)的值域为 [－９,＋ ¥)． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)不等式f(x)≥a|x＋１|等价于x２ －a|x－１|－１≥a|x＋１|． 即a ≤ x２ －１|x－１|＋|x＋１| 在区间 [０,２]内有解． ƺƺ６ 分 当x ∈ [０,１]时,a ≤ x２ －１ １－x＋x＋１ ＝x２ －１ ２ ,∴a ≤０． ƺƺ７ 分 当x∈(１,２]时,a ≤ x２ －１x－１＋x＋１＝ x２ －１ ２x ＝１ ２(x－１x ), ƺƺ８ 分 ∴a ≤ ３ ４ ． ƺƺ９ 分 综上,实数a 的取值范围是(－ ¥,３ ４ ]． ƺƺ１０ 分