河北省廊坊市六校联考2019-2020学年高二上学期期中考试调研联考数学试题

河北省廊坊市六校联考2019-2020学年高二上学期期中考试调研联考数学试题

高二年级第一学期期中调研联考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型概率的求法,列举出所有可能,即可求得能够组成“中国梦”的概率.‎ ‎【详解】三张写有“中”、“国”、“梦”的卡片随机排序,所有可能如下:‎ ‎(中国梦), (中梦国),(国中梦),(国梦中),( 梦中国),(梦国中).‎ 所以得到(中国梦)的概率为 ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能是常用方法,属于基础题.‎ ‎2.已知，，动点满足，则点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据动点轨迹求法,结合动点满足的条件即可求得动点M的轨迹.‎ ‎【详解】因为,,动点满足 而 即 所以动点M的轨迹为线段 故选:C ‎【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法,不要误判为椭圆.椭圆的轨迹需满足的条件,属于基础题.‎ ‎3.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是 A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由命题间的充分必要性即可求解.‎ ‎【详解】解：不等式对恒成立，‎ 则，解得，‎ 则“” 的一个必要不充分条件是，‎ 选项A为充要条件，‎ 选项C为充分不必要条件，‎ 选项D为既不充分也不必要条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，属基础题.‎ ‎5.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解：当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0‎ 要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，‎ ‎∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=±‎ 当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，‎ 故这样的直线有3条，‎ 故选C ‎6.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法可求得，根据直线点斜式方程可求得结果.‎ ‎【详解】设直线与椭圆交点为，‎ ‎，两式作差得：‎ 又为中点 ， ‎ 直线方程为：，即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查点差法求解中点弦的问题，关键是能够熟练应用点差法，属于基础题.‎ ‎7.某商场对某一商品搞活动，已知该商品的进价为3元/个，售价为8元/个，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示，则从这10天中随机抽取一天，其日利润不少于96元的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频数分布表,即可算得销量分别为时的利润,即可求得利润不少于96元的概率.‎ ‎【详解】商品的进价为3元/个,售价为8元/个,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售 所以当销量为时,共有1天,每天的利润为元 销量为时,共有4天,每天利润为元 销量为时,共有3天,每天利润为元 销量为时,共有2天,每天利润为元 所以满足日利润不少于96元的概率为 ‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，过点的直线与双曲线的右支交于点，且，则（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线性质,结合可知,即可求得.‎ ‎【详解】双曲线：‎ 由双曲线性质可知 过点的直线与双曲线的右支交于点,且 则 则点的横坐标为2,代入双曲线 可得P点的纵坐标为 ‎ 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质的简单应用,双曲线中通径的求法,属于基础题.‎ ‎9.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理一一检验即可．‎ ‎【详解】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；‎ 对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；‎ 对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；‎ 对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.‎ ‎【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题．‎ ‎10.下列结论中不正确的个数是（ ）‎ ‎①一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件；‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎③若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件；‎ ‎④把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件定义可判断①;由充分必要条件的判定可判断②;根据对立事件的概率性质可判断③;根据互斥事件定义可判断④.‎ ‎【详解】对于①,因为对立事件不能同时发生,但事件“至少有一次中靶”与事件“‎ 至多有一次中靶”都包含事件“射中一次靶”,所以不是对立事件,所以①错误;‎ 对于②当时, ,所以“”是“”的充分条件；当时,或,所以“”不是“”的必要条件,所以②正确;‎ 对于③在同一试验条件下, 事件与事件满足条件则事件与事件是对立事件；当事件与事件在不同的试验条件时,虽然满足,也不一定是对立事件,所以③错误;‎ 对于④将4张纸牌随机分给4人,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生,也不是两个中必有一个发生(即还有乙、丙可能得到红牌),因而事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件,所以④正确 综上可知,正确的为②④‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了随机事件中的互斥事件与对立事件的定义与判断,对立事件的概率关系,充分必要条件的判断,属于基础题.‎ ‎11.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 1或‎-1 ‎C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出曲线表示的图形,根据直线与曲线的位置关系,结合点到直线的距离公式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知,画出曲线表示的图形如下图所示:‎ 当直线经过点时,代入可求得 当直线经过点时,代入可求得,此时有两个交点 所以当时由1个交点 当直线与圆在轴右侧部分只有一个交点时,圆心到直线的距离等于1,即 ‎ 解得,因为此时,所以 综上可知,当满足或时,直线与曲线只有1个交点 故选:D ‎【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的画法,注意曲线只表示圆在轴右侧部分,直线与圆的位置关系,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎12.设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由圆锥曲线的结论知道 ‎ 故答案为B.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点的椭圆的标准方程为________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 分析：讨论椭圆的焦点在轴上或在轴上，利用椭圆长轴长是短轴长的倍，过点，分别求出的值，即可得到椭圆的标准方程.‎ 详解：若椭圆的焦点在轴上，则，因为长轴长是短轴长的倍，‎ 所以，，椭圆方程为；‎ 若椭圆的焦点在轴上，则，因为长轴长是短轴长的倍，‎ 所以，，椭圆方程为,‎ 故答案为或.‎ 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程，属于简单题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎14.若，则方程表示的圆的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程表示圆,结合二元二次方程表示圆的条件,即可求得的取值范围,进而求得在所给条件中表示圆的概率.‎ ‎【详解】方程表示的圆 则满足,化简可得 ‎ 即,解不等式可得 ‎ 因为 所以满足方程表示圆的的值有 即在时方程表示的圆的概率为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了圆的一般式方程的应用,根据圆的表示条件求参数的取值范围,古典概型概率的求法,属于基础题.‎ ‎15.下面给出四种说法：‎ ‎①设、、分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则；‎ ‎②在线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近于1，表示两个变量的相关性越强；‎ ‎③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；‎ ‎④线性回归直线不一定过样本中心点.‎ 其中正确说法的序号是______.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据数据求得平均数、中位数、众数,即可比较的大小;对于②根据相关系数定义,即可判断是否正确;对于③,根据频率分布直方图的绘制过程即可判断;对于④根据线性回归方程中的求法,可知必过样本中心点,即可判断.‎ ‎【详解】对于①,根据数据可求得平均数为,从小到大排列可得,所以中位数为,由数据可知众数为.即,所以①正确;‎ 对于②根据相关系数的意义,可知当相关系数的绝对值越接近于1,表示两个变量的相关性越强,所以②正确;‎ 对于③绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的频率,所以③错误;‎ 对于④根据线性回归方程中的求法,可知必过样本中心点,所以④错误.‎ 综上可知,正确的为①②‎ 故答案为: ①②‎ ‎【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数求法,频率分布直方图中每个小矩形的意义,相关系数意义及线性回归方程与样本中心的关系,属于基础题.‎ ‎16.过双曲线x2-=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为______．‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合双曲线与圆的方程画出图像，由相切得勾股关系，化简|PM|2-|PN|2，在△中结合双曲线定义与三角形三边关系可求出范围.‎ ‎【详解】解：圆的圆心为，半径为；‎ 圆的圆心为，半径为；‎ 设双曲线的左右焦点为，‎ 连接，可得 ‎．‎ 当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．‎ 故答案为13．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆相切，双曲线的焦点三角形，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共6个题，共70分.）‎ ‎17.已知：，：方程表示的曲线是双曲线，且是的充分不必要条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式可得的解集.根据双曲线的标准方程及意义即可求得中的取值范围.结合充分不必要条件表示的含义,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】由：,解不等式可得 由方程表示的曲线是双曲线 ‎∴,‎ ‎∴或.‎ 因为是的充分不必要条件,‎ 所以是的真子集 所以或 解得或 所以的取值范围是或 ‎【点睛】本题考查了含参数的一元二次不等式的解法,双曲线标准方程及其意义,由充分不必要条件求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18.（2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：‎ 甲 ‎ ‎27 ‎ ‎38 ‎ ‎30 ‎ ‎37 ‎ ‎35 ‎ ‎31 ‎ 乙 ‎ ‎33 ‎ ‎29 ‎ ‎38 ‎ ‎34 ‎ ‎28 ‎ ‎36 ‎ ‎ ‎ ‎(1)画出茎叶图.‎ ‎(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适?‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）=33,=33.=,=.乙参加比赛更合适.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.‎ ‎(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为 甲：27,30,31,35,37,38;‎ 乙：28,29,33,34,36,38.‎ 所以=×(27+30+31+35+37+38)=33,‎ ‎=×(28+29+33+34+36+38)=33.‎ ‎=×[(-6)2+(-3)2+(-2)2+22+42+52]‎ ‎=,‎ ‎=×[(-5)2+(-4)2+0+12+32+52]=.‎ 因为=,>.‎ 所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.‎ ‎19.已知圆C经过，两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．求：‎ ‎（1）圆C的方程．‎ ‎（2）过点且与圆C相切的直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆过，两点，知圆心在线段中垂线 上，设圆心坐标，利用弦长公式得，再利用两点间距离公式得，联立方程解得，从而求得圆的方程．‎ ‎（2）设切线的斜率为，得直线的点斜式方程为，再利用圆心到直线的距离为半径，得到方程．‎ ‎【详解】（1）因为圆过，两点，所以圆心在线段中垂线上，‎ 设圆心坐标，半径为，所以，‎ 因为圆在y轴上截得的线段长为，所以，‎ 联立上面两个方程得或，‎ 因为，所以，所以圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）得圆心坐标为，半径，‎ 设圆的切线方程为，即，‎ 所以，解得：或，‎ 所以切线方程为：或．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用平面几何知识求圆的方程、圆的切线方程，考查数形结合思想及运算求解能力．‎ ‎20.港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为.‎ ‎（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间内的频率；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件桥梁构件，求这件桥梁构件都在区间内的概率 ‎【答案】(1)0.05(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图中表示频率之和为1得到参数值；（2）先根据分层抽样的原则得到每个区间内的样本件数，再根据古典概型的计算公式列式得到结果即可.‎ ‎【详解】（1）设这些桥梁构件质量指标值落在区间内频率为，则这些桥梁构件质量指标值落在区间，内的频率分别为和.‎ 依题意得 ，解得.‎ 所以这些桥梁构件质量指标值落在区间内频率为.‎ ‎（2）由（I）得，这些桥梁构件质量指标值落在区间，，内的频率依次为，，.‎ 用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，则在区间内应抽取件，记为，，.‎ 在区间内应抽取件，记为，‎ 在区间内应抽取件，记为.‎ 设“从样本中任意抽取件产品，这件桥梁构件都在区间内”为事件 ‎，则所有的基本事件有：，，，，，，‎ ‎，，，，，， ，‎ ‎，共15种.‎ 事件包含的基本事件有：，，，，‎ ‎，，，，，共10种.‎ 所以这件桥梁构件都在区间内的概率为.‎ ‎【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的应用以及古典概型的应用，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎21.某地区不同身高的未成年男孩的体重平均值如下表：‎ 身高 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 体重 ‎6.13‎ ‎7.90‎ ‎9.99‎ ‎12.15‎ ‎15.02‎ 已知与之间存在很强的线性相关性，‎ ‎（1）据此建立与之间回归方程；‎ ‎（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高体重为的在校男生的体重是否正常？‎ 参考数据：，，‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】(1) . (2) 正常的.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得及,即可求得.代入线性回归方程中即可求得.再由即可求得,进而得回归方程.‎ ‎（2）根据回归方程及参考数据,即可求得该男生的体重,进而判断该体重是否位于平均值的1.2倍与0.8倍之间.‎ ‎【详解】（1）由已知可得 ‎,‎ ‎∴‎ 又,‎ ‎∴‎ 所以 ‎∴回归方程为：‎ ‎（2）当时,,‎ 而,‎ ‎,‎ ‎∴这一在校男生的体重是正常的.‎ ‎【点睛】本题考查了非线性回归方程在实际问题中的应用,计算量较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，‎ ‎，其中，，.‎ ‎（1）设动点满足：，求点的轨迹；‎ ‎（2）设，，求点的坐标；‎ ‎（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 的轨迹为直线. (2) (3) 直线必过轴上一定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点.根据条件,结合两点间距离公式,化简即可得解.‎ ‎（2）根据,代入椭圆方程即可求得、的坐标.进而求得直线与直线的方程.联立两条直线方程即可求得交点的坐标.‎ ‎（3）设出直线与直线的方程,分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标.讨论与,并分别求得的值.即可求得所过定点的坐标.‎ ‎【详解】（1）由题设得,,,,设动点,‎ 由,,,‎ 代入化简得.‎ 故点的轨迹为直线 ‎（2）由,,得,则点,‎ 直线的方程为,‎ 由,,得,则点.‎ 直线的方程为,‎ 由.解方程组可得 即 ‎（3）由题设知,直线的方程为：,直线的方程为：,‎ 点满足,,；‎ 点满足,,；‎ 若,且,得,‎ 此时直线的方程为,过点；‎ 若,则,直线的斜率,‎ 直线的斜率,‎ 所以,所以直线过点.‎ 因此直线必过轴上一定点.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法,点与椭圆的位置关系及直线交点的求法,‎ 直线与椭圆的位置关系及过定点问题,综合性强,属于难题.‎