高中数学必修2全册同步检测：2-2-2

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‎2-2-2‎平面与平面平行的判定 一、选择题 ‎1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面(　　)‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．都可能 ‎2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 ‎3．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是(　　)‎ A．平面ABCD∥平面ABB′A′‎ B．平面ABCD∥平面ADD′A′‎ C．平面ABCD∥平面CDD′C′‎ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′‎ ‎4．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD‎1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 ‎5．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　)‎ A．1个或2个 B．0个或1个 C．1个 D．0个 ‎6．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)‎ A．l∥β，l⊂α⇒α∥β B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β ‎7．下列结论中：‎ ‎(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；‎ ‎(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；‎ ‎(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；‎ ‎(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．‎ 正确的序号为(　　)‎ A．(1)(2) B．(3)(4)‎ C．(1)(3) D．(2)(4)‎ ‎8．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 ‎9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题 ‎①⇒a∥b; ②⇒a∥b；‎ ‎③⇒α∥β； ④⇒α∥β；‎ ‎⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．①②③ B．①④⑤‎ C．①④ D．①③④‎ ‎10．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①平面EFGH∥平面ABCD；‎ ‎②平面PAD∥BC；‎ ‎③平面PCD∥AB；‎ ‎④平面PAD∥平面PAB.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．①②③ D．②③‎ 二、填空题 ‎11．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是________．‎ ‎12．平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________．‎ ‎13．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．‎ ‎14．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，‎ ‎①BM∥平面DE；‎ ‎②CN∥平面AF；‎ ‎③平面BDM∥平面AFN；‎ ‎④平面BDE∥平面NCF.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 三、解答题 ‎15．在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且＝＝＝，求证平面EFG∥平面ABC.‎ ‎[分析]　要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．‎ ‎16．如下图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎[分析]　证明平面与平面平行转化为证明线面平行，即转化为证明直线FG∥平面BDD1B1，EG∥平面BDD1B1.‎ ‎17．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．‎ ‎[分析1]　观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．‎ 观察图形可以看出：连接CG与DE相交于H，连接FH，FH就是适合题意的直线．‎ 怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．‎ ‎18．如下图，F，H分别是正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：‎ 平面BDF∥平面B1D1H.‎ 详解答案 ‎1[答案]　D ‎[解析]　过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．‎ ‎2[答案]　B ‎3[答案]　D ‎4[答案]　A ‎[解析]　∵E1和F1分别是A1B1和D‎1C1的中点，‎ ‎∴A1D1∥E‎1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E‎1F1⊂平面BCF1E1，‎ ‎∴A1D1∥平面BCF1E1.‎ 又E1和E分别是A1B1和AB的中点，‎ ‎∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，‎ ‎∴A1E∥BE1，‎ 又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，‎ ‎∴A1E∥平面BCF1E1，‎ 又A1E⊂平面EFD‎1A1，A1D1⊂平面EFD‎1A1，A1E∩A1D1＝A1，‎ ‎∴平面EFD‎1A1∥平面BCF1E1.‎ ‎5[答案]　B ‎[解析]　当两点确定的直线与α平行时，可作一个平面与α平行；当过两点的直线与α相交时，不能作与α平行的平面．‎ ‎6[答案]　D ‎[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B‎1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B‎1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B‎1C1，AD⊂平面AC，B‎1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．‎ ‎7[答案]　C ‎8[答案]　A ‎[解析]　当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A.‎ ‎9[答案]　C ‎[解析]　①三线平行公理 ‎②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面，‎ ‎③二平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，‎ ‎④面面平行传递性，‎ ‎⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，‎ ‎⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故①、④正确．‎ ‎10[答案]　C ‎[解析]　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴平面PCD∥AB.‎ 同理平面PAD∥BC.‎ ‎11[答案]　平行 ‎12[答案]　平行 ‎[解析]　由于平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α内有两条相交直线平行于平面β，所以α∥β.‎ ‎13[答案]　平行 ‎[解析]　假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.‎ ‎14[答案]　①②③④‎ ‎[解析]　展开图可以折成如图a所示的正方体．‎ 在正方体中，连接AN，如图b所示．‎ ‎∵AB∥MN，且AB＝MN，‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形．‎ ‎∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴①②‎ 正确；‎ 如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．‎ ‎15[证明]　在△PAB中，∵＝，∴EF∥AB，‎ ‎∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ ‎∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC，‎ ‎∵EF∩FG＝F，且FG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，‎ ‎∴平面EFG∥平面ABC.‎ 总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．‎ ‎16[证明]　如右图所示，连接SB，SD.‎ ‎∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.‎ 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ ‎∴直线FG∥平面BDD1B1.‎ 同理可证EG∥平面BDD1B1.‎ 又∵直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，‎ ‎∴平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎17[证法1]　连接CG交DE于点H，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AB.‎ 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．‎ ‎∴FH是△SCG的中位线，‎ ‎∴FH∥SG.‎ 又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，‎ ‎∴SG∥平面DEF.‎ ‎[分析2]　由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，‎ 又SG⊂平面SAB，从而得出SG∥平面DEF.‎ ‎[证法2]　∵EF为△SBC的中位线，‎ ‎∴EF∥SB.‎ ‎∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，‎ ‎∴EF∥平面SAB.‎ 同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，‎ ‎∴平面SAB∥平面DEF，‎ 又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.‎ ‎[点评]　要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．‎ ‎18[证明]　‎ 取DD1，中点E连AE、EF.‎ ‎∵E、F为DD1、CC1‎ 中点，∴EF綊CD.‎ ‎∴EF綊AB ‎∴四边形EFBA为平行四边形．‎ ‎∴AE∥BF.‎ 又∵E、H分别为D1D、A‎1A中点，‎ ‎∴D1E綊HA，∴四边形HADD1为平行四边形．‎ ‎∴HD1∥AE ‎∴HD1∥BF 由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.‎ ‎∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，‎ ‎∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D‎1F，‎ ‎∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，‎ ‎∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，‎ ‎∴平面BDF∥平面B1D1H. ‎