2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试 数学（理） word版

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试 数学（理） word版

湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二下学期期中考试 数学（理）‎ 考试范围：集合与逻辑，排列组合，二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，‎ 解析几何，函数与导数 注意事项：‎ 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。‎ 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。‎ 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 已知集合A={x|x(x-3)<0}‎，B={-1,‎0，1，2，‎3}‎，则A∩B=(‎　　‎‎)‎ A. ‎{-1}‎‎ B. ‎{1,2}‎ C. ‎{0,3}‎ D. ‎{-1,‎1，2，‎‎3}‎ 2. 命题“‎∀x∈(0,1)‎，x‎2‎‎-x<0‎”的否定是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∃x‎0‎∉(0,1)‎‎，x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎≥0‎ B. ‎∃x‎0‎∈(0,1)‎，x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎≥0‎ C. ‎∀x‎0‎∉(0,1)‎，x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎<0‎ D. ‎∀x‎0‎∈(0,1)‎，‎x‎0‎‎2‎‎-x‎0‎≥0‎ 3. 记Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和‎.‎若a‎4‎‎+a‎5‎=24‎，S‎6‎‎=48‎，则‎{an}‎的公差为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1 B. 2 C. 4 D. 8‎ 4. 执行如图所示的程序框图‎.‎如果输入的x=10‎，则输出y的值是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎2‎‎ B. ‎-‎‎1‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎‎-‎‎3‎‎2‎ 5. 设X~B(10,0.8)‎，则D(2X+1)‎等于‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1.6‎‎ B. ‎3.2‎ C. ‎6.4‎ D. ‎‎12.8‎ 6. 函数f(x)‎在‎(-∞,+∞)‎单调递减，且为奇函数‎.‎若f(1)=-1‎，则满足‎-1≤f(x-2)≤1‎的x的取值范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎[-2,2]‎‎ B. ‎[-1,1]‎ C. ‎[0,4]‎ D. ‎‎[1,3]‎ 7. 在区间‎[0,4]‎上随机取两个实数x，y，使得x+2y≤8‎的概率为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎4‎‎ B. ‎3‎‎16‎ C. ‎9‎‎16‎ D. ‎‎3‎‎4‎ 广告费用x(‎万元‎)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(‎万元‎)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ m 8. 某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如右表： ‎ 根据上表可得回归方程y‎=9x+10.5‎，则m为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎54 B. 53 C. 52 D. 51‎ 1. 已知‎(1+x‎)‎n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎2‎‎12‎ B. ‎2‎‎11‎ C. ‎2‎‎10‎ D. ‎‎2‎‎9‎ 2. 把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安排方法的种数是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎30 B. 60 C. 120 D. 240 ‎ 3. 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，底面边长和侧棱长都相等，‎∠BAA‎1‎=‎‎∠CAA‎1‎=‎‎60‎‎∘‎，则异面直线AB‎1‎与BC‎1‎所成角的余弦值为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎3‎‎3‎ B. ‎6‎‎6‎ C. ‎3‎‎4‎ D. ‎‎3‎‎6‎ 4. 已知函数f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)‎，若关于x的不等式f(x)>0‎恒成立，则实数a的取值范围为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎(0,e‎2‎]‎ B. ‎(0,e‎2‎)‎ C. ‎[1,e‎2‎]‎ D. ‎‎(1,e‎2‎)‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 5. 已知i是虚数单位，则‎2i‎1+i‎=‎ ______；‎ 6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______cm3 ；‎ 7. 已知随机变量ξ~N‎1,‎δ‎2‎，若Pξ>3‎=0.2‎，则Pξ≥-1‎=‎______；‎ 8. 已知椭圆x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎的一个焦点恰为抛物线x‎2‎‎=2pyp>0‎的焦点F，设抛物线的准线l与y轴的交点为M，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若以线段BM为直径的圆过点A，则AB‎=‎______.‎ 三、 解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ （一） 必考题：共60分。‎ 9. ‎（本小题满分12分）‎ 在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC=2acosA．‎ (1) 求A；‎ (2) 若a=2‎，且ΔABC的面积为‎3‎，求ΔABC的周长． ‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，‎∠B=‎‎90‎‎∘‎，BE//CD，且BE=2CD=2BC=2‎，A为BE的中点‎.‎将‎△EDA沿AD折到‎△PDA位置‎(‎如图‎2)‎，连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD． ‎(1)‎求证：AD⊥PB； ‎(2)‎若PA⊥‎平面ABCD，求二面角B-PC-D的大小. ‎ ‎ ‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试‎.‎假设某学生每次通过测试的概率都是‎1‎‎3‎，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． ‎(1)‎求该学生没有考上大学的概率； ‎(2)‎如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望． ‎ 3. ‎（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎的一个焦点为F(2,0)‎，且离心率为‎6‎‎3‎． ‎(1)‎求椭圆方程； ‎(2)‎斜率为k的直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，P为直线x=3‎上的一点，若‎△ABP为等边三角形，求直线l的方程． ‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=lnx+ax‎2‎+(2a+1)x． ‎(1)‎讨论函数f(x)‎的单调性； ‎(2)‎当a<0‎时，证明:f(x)≤-‎3‎‎4a-2‎． ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 2. ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知曲线C‎1‎在平面直角坐标系中的参数方程为x=‎5‎‎5‎ty=‎2‎‎5‎‎5‎t-1‎‎(t为参数‎)‎，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C‎2‎：ρ=2cosθ-4sinθ ‎(1)‎将C‎1‎的方程化为普通方程，并求出C‎2‎的平面直角坐标方程； ‎(2)‎求曲线C‎1‎和C‎2‎两交点之间的距离．‎ 3. ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|‎． ‎(1)‎求不等式f(x)≥1‎的解集； ‎(2)‎若不等式f(x)≥x‎2‎-x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎2019年上期衡阳市八中高二期中考试试题 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B C B C D D A D C B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎ 13、‎1+i；14、；15、‎0.8‎；16、‎2+2‎‎5‎.‎ 由椭圆方程易知焦点坐标为F‎0,1‎，抛物线方程为x‎2‎‎=4y，很明显直线AB的斜率存在且斜率不为0，设直线AB的斜率为k，AB的方程为x=my-1‎，其中m=‎‎1‎k，‎ 联立直线方程与抛物线方程可得m‎2‎y‎2‎‎-‎2m‎2‎+4‎y+m‎2‎=0‎，解得：y=‎m‎2‎‎+2±2‎m‎2‎‎+1‎m‎2‎，则y‎1‎‎+y‎2‎=‎4‎m‎2‎+2‎，‎ 设Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎，以线段BM为直径的圆过点A，则kAB‎⋅kAM=-1‎，即：‎1‎m‎⋅y‎1‎‎+1‎x‎1‎=-1‎，结合x‎1‎‎=my‎1‎‎-1‎可得y‎1‎‎=‎m‎2‎‎-1‎m‎2‎‎+1‎，据此有：m‎2‎‎-1‎m‎2‎‎+1‎‎=‎m‎2‎‎+2-2‎m‎2‎‎+1‎m‎2‎，整理可得：m‎4‎‎-m‎2‎-1=0‎，解得：m‎2‎‎=‎‎1+‎‎5‎‎2‎(负根舍去)，结合弦长公式可得：AB‎=y‎1‎+y‎2‎+p=‎4‎m‎2‎+2+1=2+2‎‎5‎.‎ 三、 解答题：共70分。‎ （一） 必考题：共60分。‎ ‎17、【答案】‎(1)∵ccos⁡B+bcos⁡C=2acos⁡A，‎∴sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA， ‎∴sin(B+C)=2sinAcosA，‎∴sinA=2sinAcosA，‎∵A∈(0,π)‎，‎ ‎∴sinA≠0‎‎，‎∴cosA=‎‎1‎‎2‎，‎∴A=‎π‎3‎； ‎(2)∵∆ABC的面积为‎3‎，‎∴‎1‎‎2‎bcsinA=‎3‎‎4‎bc=‎‎3‎，‎∴bc=4‎，由a=2‎，A=‎π‎3‎及a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosA， 得‎4=b‎2‎+c‎2‎-4‎，‎∴b‎2‎+c‎2‎=8‎，又bc=4‎，‎∴b=c=2‎．故‎∆ABC周长为6．‎ ‎18、【答案】证明：‎(‎Ⅰ‎)‎在图1中，‎∵AB//CD，AB=CD， ‎∴ABCD为平行四边形，‎∴AD//BC， ‎∵∠B=‎‎90‎‎∘‎，‎∴AD⊥BE， 当‎△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA， 又AB∩PA=A，AB⊂面PAB,PA⊂面PAB∴AD⊥‎平面PAB， 又‎∵PB⊂‎平面PAB，‎∴AD⊥PB． 解：‎(‎Ⅱ‎)①‎以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于PA⊥‎平面ABCD 则A(0,‎0，‎0)‎，B(1,‎0，‎0)‎，C(1,‎1，‎0)‎，P(0,‎0，‎1)‎，D(0,‎1，‎0)‎ PC‎=(1,‎1，‎-1)‎，BC‎=(0,‎1，‎0)‎，DC‎=(1,‎0，‎0)‎， 设平面PBC的法向量为n‎=(x,‎y，z)‎， 则PC‎⋅n=x+y-z=0‎BC‎⋅n=y=0‎，取z=1‎，得n‎=(1,‎0，‎1)‎， 设平面PCD的法向量m‎=(a,‎b，c)‎， 则m‎⋅PC=a+b-c=0‎m‎⋅DC=a=0‎，取b=1‎，得m‎=(0,‎1，‎1)‎， 设二面角B-PC-D的大小为θ，可知为钝角， 则cosθ=-‎|m⋅n|‎‎|m|⋅|n|‎=-‎1‎‎2‎‎×‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎，‎∴θ=‎‎120‎‎∘‎．‎ ‎19、【答案】解：‎(1)‎记“该生没有考上大学”的事件为事件A‎∴‎根据题意可得：‎ ‎ ‎ ‎∴(2)‎由题意可得：参加测试次数X的可能取值为2，3，4，5， ‎∴P(X=2)=(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎1‎‎9‎，P(X=3)=C‎2‎‎1‎⋅‎1‎‎3‎⋅‎2‎‎3‎⋅‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎， P(X=4)=C‎3‎‎1‎⋅‎1‎‎3‎⋅(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎⋅‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎，P(X=5)=C‎4‎‎1‎⋅‎1‎‎3‎⋅(‎2‎‎3‎‎)‎‎3‎+(‎2‎‎3‎‎)‎‎4‎=‎16‎‎27‎.‎   ‎∴X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎1‎‎9‎ ‎4‎‎27‎ ‎4‎‎27‎ ‎16‎‎27‎ ‎∴X的数学期望为：E(X)=2×‎1‎‎9‎+3×‎4‎‎27‎+4×‎4‎‎27‎+5×‎16‎‎27‎=‎38‎‎9‎.‎   ‎ ‎20、【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)∵‎椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎的一个焦点为F(2,0)‎，且离心率为‎6‎‎3‎． ‎∴c=2‎，ca‎=‎‎6‎‎3‎，a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，解得a‎2‎‎=6‎，b‎2‎‎=2‎．‎∴‎椭圆方程为x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1.‎  ‎(‎Ⅱ‎)‎直线l的方程为y=k(x-2)‎．联立方程组y=k(x-2)‎x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1.‎，消去y并整理，得‎(3k‎2‎+1)x‎2‎-12k‎2‎x+12k‎2‎-6=0‎．设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎).‎故x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎12‎k‎2‎‎3k‎2‎+1‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎12k‎2‎-6‎‎3k‎2‎+1‎．则‎|AB|=‎1+‎k‎2‎|x‎1‎-x‎2‎|‎ ‎=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎‎2‎6‎(k‎2‎+1)‎‎3k‎2‎+1‎．设AB的中点为 M(x‎0‎,y‎0‎).‎可得x‎0‎‎=‎‎6‎k‎2‎‎3k‎2‎+1‎，y‎0‎‎=-‎‎2k‎3k‎2‎+1‎．直线MP的斜率为‎-‎‎1‎k，又 xP‎=3‎，所以‎|MP|=‎1+‎‎1‎k‎2‎⋅|x‎0‎-xP|=k‎2‎‎+1‎k‎2‎⋅‎‎3(k‎2‎+1)‎‎(3k‎2‎+1)‎． 当‎△ABP为正三角形时，‎|MP|=‎3‎‎2‎|AB|‎，‎∴k‎2‎‎+1‎k‎2‎⋅‎3(k‎2‎+1)‎‎(3k‎2‎+1)‎=‎3‎‎2‎⋅‎‎2‎6‎(k‎2‎+1)‎‎3k‎2‎+1‎， 解得k=±1‎．‎∴‎直线l的方程为x-y-2=0‎，或x+y-2=0‎．‎ ‎21、【答案】‎(1)‎解：因为f(x)=lnx+ax‎2‎+(2a+1)x， 求导f'(x)=‎1‎x+2ax+(2a+1)=‎2ax‎2‎+(2a+1)x+1‎x=‎‎(2ax+1)(x+1)‎x，‎(x>0)‎， ‎①‎当a=0‎时，f'(x)=‎1‎x+1>0‎恒成立，此时y=f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增； ‎②‎当a>0‎，由于x>0‎，所以‎(2ax+1)(x+1)>0‎恒成立，此时y=f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增； ‎③‎当a<0‎时，令f'(x)=0‎，解得：x=-‎‎1‎‎2a．因为当x∈(0,-‎1‎‎2a)f'(x)>0‎、当x∈(-‎1‎‎2a,+∞)f'(x)<0‎，所以y=f(x)‎在‎(0,-‎1‎‎2a)‎上单调递增、在‎(-‎1‎‎2a,+∞)‎上单调递减． 综上可知：当a≥0‎时f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增， 当a<0‎时，f(x)‎在‎(0,-‎1‎‎2a)‎上单调递增、在‎(-‎1‎‎2a,+∞)‎上单调递减； ‎(2)‎证明：由‎(1)‎可知：当a<0‎时f(x)‎在‎(0,-‎1‎‎2a)‎上单调递增、在‎(-‎1‎‎2a,+∞)‎上单调递减，所以当x=-‎‎1‎‎2a时函数y=f(x)‎取最大值f(x‎)‎max=f(-‎1‎‎2a)=-1-ln2-‎1‎‎4a+ln(-‎1‎a).‎从而要证f(x)≤-‎3‎‎4a-2‎，即证f(-‎1‎‎2a)≤-‎3‎‎4a-2‎，即证‎-1-ln2-‎1‎‎4a+ln(-‎1‎a)≤-‎3‎‎4a-2‎，即证‎-‎1‎‎2‎(-‎1‎a)+ln(-‎1‎a)≤-1+ln2‎． 令t=-‎‎1‎a，则t>0‎，问题转化为证明：‎-‎1‎‎2‎t+lnt≤-1+ln2.…(*)‎ 令g(t)=-‎1‎‎2‎t+lnt，则g'(t)=-‎1‎‎2‎+‎‎1‎t，令g'(t)=0‎可知t=2‎，则当‎00‎，当t>2‎时g'(t)<0‎，所以y=g(t)‎在‎(0,2)‎上单调递增、在‎(2,+∞)‎上单调递减，即g(t)≤g(2)=-‎1‎‎2‎×2+ln2=-1+ln2‎，即‎(*)‎式成立，所以当a<0‎时，f(x)≤-‎3‎‎4a-2‎成立．‎ ‎（二）必考题：共10分。‎ ‎22、【答案】解：‎(1)‎曲线C‎1‎在平面直角坐标系中的参数方程为x=‎5‎‎5‎ty=‎2‎‎5‎‎5‎t-1‎‎(t为参数‎)‎， 消去参数t可得普通方程：y=2x-1‎．由曲线C‎2‎：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ‎2‎‎=ρ(2cosθ-4sinθ)‎， 可得直角坐标方程：x‎2‎‎+y‎2‎=2x-4y．‎ 法一：‎(2)x‎2‎+y‎2‎=2x-4y.‎化为‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=5‎． 可得圆心C‎2‎‎(1,-2)‎，半径r=‎‎5‎．‎∴‎曲线C‎1‎和C‎2‎两交点之间的距离‎=2‎5-(‎‎2+2-1‎‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎．‎ 法二：‎(2)x‎2‎+y‎2‎=2x-4y.‎化为‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+2‎)‎‎2‎=5‎，将直线方程代入得：‎ ‎23、【答案】解：‎(1)∵fx=x+1‎-x-2‎=‎-3‎‎2x-1,‎‎3‎x<-1‎‎-1≤x≤2‎x>2‎,f(x)≥1,‎ ‎∴‎当‎-1≤x≤2‎时，‎2x-1≥1‎，解得‎1≤x≤2‎；当x>2‎时，‎3≥1‎恒成立，故x>2‎； 综上，不等式f(x)≥1‎的解集为‎{x|x≥1}‎． ‎(2)‎原式等价于存在x∈R使得f(x)-x‎2‎+x≥m成立，即m≤[f(x)-x‎2‎+x‎]‎max，设g(x)=f(x)-x‎2‎+x． 由‎(1)‎知，gx=‎-x‎2‎+x-3‎‎-x‎2‎+3x-1‎‎-x‎2‎+x+3‎‎,‎x≤-1‎‎-1-1‎，‎∴g(x)≤g(-1)=-1-1-3=-5‎；当‎-1

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