2018年上海市虹口区高考数学一模试卷

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷

‎2018年上海市虹口区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为　 　．‎ ‎2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=　 　．‎ ‎3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则=　 　．‎ ‎4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=　 　．‎ ‎5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是　 　．‎ ‎6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是　 　．‎ ‎7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于　 　．‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为　 　．‎ ‎9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于　 　．‎ ‎10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=　 　．‎ ‎11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an=　 　．‎ ‎12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（　　）‎ A． B．（0，π） C． D．（0，π]‎ ‎14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（　　）‎ A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1‎ C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1‎ ‎15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（　　）‎ A．2017 B．1513 C． D．‎ ‎16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（　　）‎ A． B．[4，6]‎ C． D．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．‎ ‎（1）求证：PM⊥平面ABC；‎ ‎（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．‎ ‎18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．‎ ‎（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求此函数在的最大值和最小值．‎ ‎19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．‎ ‎（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；‎ ‎（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．‎ ‎20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；‎ ‎（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．‎ ‎21．（18分）已知无穷数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4．‎ ‎（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求Sn；‎ ‎（2）如果对于一切正整数n，均有an•an+1=Sn，求Sn；‎ ‎（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n﹣1能被8整除．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市虹口区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为　（﹣∞，2）　．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．‎ 函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．‎ 故答案为：（﹣∞，2）．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=　0　．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，‎ 即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）首项和公比均为的等比数列{an}，Sn是它的前n项和，则=　1　．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}的首项和公比均为，‎ 则其前n项和Sn==1﹣（）n，‎ 则=1；‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=　﹣　．‎ ‎【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，‎ 则根据余弦定理得：cosC===﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是　[，]　．‎ ‎【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，‎ ‎∴，即a2+b2=1，‎ 令a=cosθ，b=sinθ，‎ 则ab=cosθ•sinθ=，‎ ‎∴ab∈[，]．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是　18　．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，‎ ‎②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，‎ 则一共有9+9=18种选法；‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于　　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，‎ ‎∵M是AB的中点，∴，‎ ‎∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，‎ 则，，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），‎ 若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，‎ 则双曲线的顶点坐标为（±3，0），‎ 则有a2=9，‎ 则双曲线的方程为：﹣y2=1，‎ 双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于　　．‎ ‎【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，‎ ‎∵底边长为一个周期T=2π，高为，‎ ‎∴△ABC的面积=2=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则=　4　．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，‎ 过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，‎ ‎△MNF2的内切圆的面积为π，‎ ‎∴△MNF2内切圆半径r=1．‎ ‎∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列Pn（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{an}的通项公式an=　　．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵D是BC的中点，∴=+=+，‎ 又=+，，‎ ‎∴+=+an（+），‎ 化为：=（1﹣an﹣an+1）+，‎ ‎∵点列Pn（n∈N*）在线段AC上，‎ ‎∴1﹣an﹣an+1+=1，‎ 化为：an+1=﹣，又a1=1，‎ 则数列{an}是等比数列，首项为1，公比为﹣．‎ ‎∴an=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为　（0，0）或（1，0）　．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，‎ 如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，‎ 方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，‎ 则有，解可得x=0，‎ 即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，‎ 则f（x）=x2+2a•x，‎ 解可得x1=0或x2=﹣2a，‎ f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），‎ 若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，‎ 分析可得a=0或a=1，‎ 则（a，b）为（0，0）或（1，0）；‎ 故答案为（0，0）或（1，0）．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（　　）‎ A． B．（0，π） C． D．（0，π]‎ ‎【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，‎ ‎∴θ的范围是（0，]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（　　）‎ A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1‎ C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1‎ ‎【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为 ‎“若x≠1，则x2≠1”；‎ 即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（　　）‎ A．2017 B．1513 C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数，‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）‎ ‎=1009×f（﹣1）+1008×f（0）‎ ‎=1009×2﹣1+1008×20‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（　　）‎ A． B．[4，6]‎ C． D．‎ ‎【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），‎ ‎∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．‎ ‎∵，∴N是MC的中点．‎ 设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），‎ ‎∴=（cosα﹣4，sinα+3），‎ ‎∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，‎ ‎∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，‎ 当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．‎ ‎（1）求证：PM⊥平面ABC；‎ ‎（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．‎ ‎【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，‎ ‎∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．‎ ‎∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，‎ ‎∴PM⊥AB，‎ ‎∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．‎ 解：（2）连结BM，‎ ‎∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，‎ ‎∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，‎ ‎∴PM==，‎ BM===，‎ ‎∴tan∠PBM===，‎ ‎∴．‎ ‎∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．‎ ‎（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求此函数在的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin（ωx），‎ ‎（1）∵函数的最小正周期等于π．即 ‎∴ω=2．‎ 可得f（x）=2sin（2x），‎ 由2x，k∈Z 得：≤x≤‎ 故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z ‎（2）∵f（x）=2sin（2x），‎ 当，‎ ‎（2x）∈[]‎ ‎∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．‎ 当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．‎ ‎（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；‎ ‎（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设AQ=x，‎ 则由得：‎ 即AP=‎ 故S==（x＞1）；‎ ‎（2）由（1）得：S′=（x＞1）；‎ 当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，‎ 故x=2时，Smin=4．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；‎ ‎（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，‎ FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，‎ 即有F（，0），直线l：x=﹣，‎ 动圆M过点F且与直线l相切，‎ 可得|AE|=|AF|，‎ 由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，‎ 可得方程为y2=2px；‎ ‎（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，‎ 设A（x0，y0），可得y02=2px0，‎ 即有d=x0+，则x0=d﹣，‎ 即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，‎ 在△EAF中，‎ cos∠EAF==1﹣，‎ 可得﹣≤cos∠EAF≤，‎ 可得arccos≤π﹣arccos，‎ 则∠EAF的取值范围是[arccos]；‎ ‎（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．‎ 设A（x0，y0），可得y02=2px0，‎ 当A与O重合时，显然一个交点；‎ 当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，‎ 可得∠AMF=∠MAF，‎ 即有|MF|=|AF|=d，‎ 四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，‎ 可得∠AMF+∠EFM=90°，‎ tan∠AMF=cot∠EFM==，‎ 可设y0＞0，‎ 则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），‎ 则y0y﹣y02=px﹣px0，‎ 化为y0y=px+px0，‎ 代入抛物线的方程y2=2px，‎ 消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，‎ 即为（y﹣y0）2=0，‎ 可得y=y0，x=x0，‎ 即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．‎ ‎　‎ ‎21．（18分）已知无穷数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4．‎ ‎（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求Sn；‎ ‎（2）如果对于一切正整数n，均有an•an+1=Sn，求Sn；‎ ‎（3）如果对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，证明：a3n﹣1能被8整除．‎ ‎【解答】解：（1）∵无穷数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，a1=4．‎ a2=2，且对于一切正整数n，均有，‎ ‎∴==1，=，‎ 由此猜想=23﹣n．‎ 再利用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=1时，=4，成立．‎ ‎②假设n=k时，成立，即，‎ 则ak+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．‎ 由①②得，‎ ‎∴{an}是首项为4，公比为的等比数列，‎ ‎∴Sn==8（1﹣）．‎ ‎（2）∵对于一切正整数n，均有an•an+1=Sn，‎ ‎∴Sn=anan+1，Sn﹣1=an﹣1an，‎ ‎∴an=an（an+1﹣an﹣1），∴an+1﹣an﹣1=1．‎ a1=4，由an•an+1=Sn，得a2=1，a3=5，a4=3，…‎ ‎∴当n为偶数时，+‎ ‎===．‎ 当n为奇数时，Sn=++‎ ‎==．‎ 证明：（3）∵对于一切正整数n，均有an+an+1=3Sn，‎ ‎∴an+an+1=3Sn，an﹣1+an=3Sn﹣1，‎ ‎∴an+1﹣an﹣1=3an，‎ a1+a2=3a1，‎ a2=2a1=8，能被8整除，‎ a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．‎ 则a3k+2=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k ‎=10a3k+a3k﹣1‎ ‎=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，‎ 综上，a3n﹣1能被8整除．‎ ‎　‎