江西省南昌市第二中学2020届高三数学（文）下学期校测（三）试题（Word版附答案）

江西省南昌市第二中学2020届高三数学（文）下学期校测（三）试题（Word版附答案）

南昌二中 2020 届高三校测(三) 数学(文)试卷 命题：高三数学备课组 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 4{ log 1}M x x  ， {2}M N  ，则集合 N 可以是 （ ） A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{2,3,4} 2. 若复数 z 的其共轭复数 z 满足 ii z 311  ，则复数 z 为（ ） A. i42  B. i42  C. i44  D. i44  3．某产品的宣传费用 x （万元）与销售额 y （万元）的统计数据如下表所示： 宣传费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y （万元） 45 24 a 50 根据上表可得回归方程 ˆ 9.6 2.9y x  则宣传费用为 3 万元时，对应的销售额 a 为（ ） A.36.5 B.30 C.33 D.27 4．设 52a ， 5log 2b  ， 23logc 则（ ） A. a b c  B．b c a  C． c b a  D． c a b  5.已知点 ( , )m n m n  在 0 0 2 2 x y x y x y         表示的平面区域内，则 2 2m n 的 最小值为（ ） A. 2 3 B. 10 5 C. 4 9 D. 2 5 6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易 于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七 子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 n 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值．按此口诀的算法如图， 则输出 n 的结果为（ ） A．263 B．158 C．54 D．53 7. 定 义 在 R 上 的 函 数 )(xf 满 足 对 任 意 的 yx, 都 有 )()()( yfxfyxf  . 设 xxxfxg  sin)()( ，若 202010 )(g ，则  )( 10g （ ） A．-2020 B．2020 C．0 D．1010 8. 已知 ABC 的外接圆直径为 1，D 是 BC 的中点，且 sin sin 20AC B AB c  ，则  BCAD （ ） A．20 B． 210 C．10 D． 310 9. 函数 y＝sinx+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10. 已知数列 na 为等差数列, nS 是其前 n 项和, 2 55, 35 a S .数列        1 1 nn aa 的前 n 项 和为 nT ,若对一切 *n N 都有 nTm  12 恒成立,则 m 能取到的最小整数为( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 11.已知双曲线 C: 2 2 1 x ym 的离心率为 6 2 ，过点  2,0P 的直线 l 与双曲线 C 交于不同的 两点 A、B,且 AOB 为钝角（其中 O 为坐标原点），则直线 l 斜率的取值范围是（ ） A.              2 2,00,2 2 B. 5 5,0 0,5 5               C. 2 2, ,2 2                 D. 5 5, ,5 5                 12.已知函数 xaxxf )1(ln)(  ，若不等式 1)( 2  baxxf 对于任意的非负实数 a 都成 立，求实数 b 的取值范围为（ ） A.  0, B.  1, C.  ,0 D.  ,1 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 若向量 1(tan15 , )cos75a     ， (1,sin 75 )b   ，则 a b   ． 14. 我市 VR 大会展厅前广场改造,在人行道（斑马线）两侧划分 5 块区域(如图)，现有四种不 同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域（有公共边的区域）所选花 卉颜色不能相同,则不同的摆放方式共有 种. 15. 三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于 20π．若 AB＝AC=2， ∠BAC＝120°，则此棱柱高为________． 16.已知椭圆 2 2 2 1x ym    0m  的焦点为 21 FF , ,若在长轴 21 AA 上任取一点 M，过点 M 作垂 直于 21 AA 的直线交椭圆于点 P,若使得 021     PFPF 的点 M 的概率为 3 6 ，则 m 的值为 ________． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，点  *, nn S n N 在函数 2xy  的 图像上，数列{ }nb 满足 63,3 10 11   nn bbb , （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）若 ( 3)n n nc a b  ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ． 18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC      E 是 PD 的中点． （Ⅰ）证明：直线 CE∥平面 PAB； （Ⅱ）若点 M 为 PC 的中点， 4PA ,求点 D 到平面 MAB 的距离． 19. （本小题满分 12 分）某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取 80 位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为 10 分.下表是家长所打分数 X 的频数统计. 分数 X 5 6 7 8 9 10 频数 4 8 20 24 16 8 （Ⅰ）求家长所打分数的平均值； （Ⅱ）若分数不小于 8 分为“自制力强”,否则为“自制力一般”,在抽取的 80 位学生中，男同 学共 42 人，其中打分为“自制力强”的男同学为 18 人，是否有 99.5%的把握认为“自制力强”与 性别有关？ （III）在评分为 10 分的学生中有 7 名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名 女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2 0( )P K k≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 20.（本小题满分 12 分）已知抛物线  2 2 0y px p   的焦点为 F ，x 轴上方的点  2,M m 在抛物线上，且 5 2MF  ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A， B 与点 M 不重合），设直线 MBMA, 的斜率分别为 1k ， 2k ． （Ⅰ）求该抛物线的方程； （Ⅱ）当 1 2 2k k   时，证明：直线l 恒过定点，并求出该 定点的坐标． 21. （本小题满分 12 分）设函数    ln 0k xf x x x kx       . （Ⅰ）当 1k  时，求函数  f x 的单调区间； （Ⅱ）若    23 12g x x k x   ，求证：方程    f x g x 有唯一解. (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计 分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 ．（ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为    2 21 1 3x y    ，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标 系方程为  3 R   . （Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程； （Ⅱ）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由. 选修 4-5：不等式选讲 23. （本小题满分 10 分）已知函数 21  xaxxf )( （Ⅰ）当 1a 时，求不等式 4)(xf 的解集； （Ⅱ）当 1a 时，若 )(xf 的图像与 x 轴围成的三角形面积等于 6，求 a 的值. 高三校测(三)数学(文)试卷参考答案 1-12 C A D A D D A C A B A C 13. 4 14. 288 15. 2 16. 1 2m  小题详解： 11. 【解析】由题意得，双曲线 C: 2 2 12  x y ， 设 直 线 l ： 2 x ty ， 与 双 曲 线 C 联 立 得 ：  2 22 4 2 0   t y ty ， 设 点    1 1 2 2, ,B ,A x y x y ，则   2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 8, 2 42 2         ty y x x t y y t y yt t ，又因为 AOB 为钝角，所以 1 2 1 2 0 x x y y ， 即 2 2 2 6 02    t t 得出 022 t ，所以直线 l 的斜率 2 11 2 2  t k ， 即直线 l 斜率的取值范围是              2 2,00,2 2 ，所以选 C. 12. 【解析】不等式 1)( 2  baxxf 对于任意的非负实数 a 都成立， 即 1)1(ln 2  xaaxxb 对于任意的非负实数 a 都成立， 令 0,1ln)()( 2  axxaxxag ，因为 0)( 2  xx ， 所以 )(ag 在 ),0[  上递减，所以 xxgag  1ln)0()( max ，所以问题转化为 xxb  1ln 恒成立，令 ,1ln)( xxxh  则 11)('  xxh ，所以 )(xh 在 )1,0( 上递增， 在 ),1(  上递减. 所以 ,0)1()( max  hxh 所以 0b . 13.【解析】 2 2sin 75 sin15 cos15 sin 15 cos 15 2tan15 4cos75 cos15 sin15 sin15 cos15 sin30a b                    14．【解析】根据乘法计数原理得     28823434 N （种）. 15. 【解析】设球的半径为 R，∴S 球＝4πR2＝20π. 则 R＝ 22＋12＝ 5 在△ABC 中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝4＋4－2×2×2× －1 2 ＝12， ∴BC＝2 3.由正弦定理知△ABC 的外接圆半径 r 满足 2 3 sin 120° ＝2r， ∴r＝2.由题意知球心到平面 ABC 的距离为 5 4 1d    ，∴此棱柱高 2 16．【解析】联立 2 2 2 1x ym   ， 2 2 2x y c  ，当 1m  时，解得 x 2 1m c c  ，故只要 22 1 6 2 3 m cc m   ， 2m  。当 0 1m  时解得 2 2 21 c my m    2 2 22 61 2 3 c m m    .解得 1 2m  17. 【解析】（1） 12  nan ； （2） 1 1 10 ,3 63 n nb b b   ， 13( 3) 3n nb b    ， 1 3 1 3 3 n n b b     3nb  是以 1 10 13 33 3b     为首项，以 1 3 为公比的等比数列， 11 1 13 ( ) ( )3 3 3 n n nb      ， 所以   nn nc 3 112  ，所以 nT n n 3 11  . 18. 【解析】 （1）取 PA 的中点 F ，连结 EF ， BF ． 因为 E 是 PD 的中点，所以 EF ∥ AD ， 1 2EF AD ， 由 90BAD ABC     得 BC ∥ AD ， 又 1 2BC AD ，所以 EF BC∥ ，四边形 BCEF 是平行四边形，CE ∥ BF ． 又 BF  平面 PAB ， CE  平面 PAB ，故 CE∥平面 PAB ． (2) 7 214 19. 【解析】（1） 5 4 6 8 7 20 8 24 9 16 10 8 39.80 80 80 80 80 80 5X             （2）列联表如下： 男生 女生 合计 自制力强 18 30 48 自制力一般 24 8 32 合计 42 38 80 则 879.78.1032483842 )3024818(80 2 2  K ，故有 99.5%的把握认为“自制力强” 与性别有关． （3）总共基本事件为 21 种，有小雯同学的选法为 6 种，故 6 2.21 7P   20. 【解析】（1）由抛物线的定义，得   522 2 pMF     ，∴ 1p  ． ∴该抛物线的方程为 2 2y x  ． （2）由（1）可知，点 M 的坐标为 2,2 ． 当直线l 斜率不存在时，设  1,A a y ，  2,B a y ，且 1 2 0y y  ， 则 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 22 2 2 2 y y y yk k a a a a               ∴ 0a  ，∴ 1 2 0y y  ，此时 A， B 两点重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为 y kx b  ． 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ． 联立直线 l 与抛物线的方程，得 2 , 2 y kx b y x      整理，得  2 2 22 2 0k x kb x b    ， ∴ 1 2 2 2 2kbx x k    ， 2 1 2 2 bx x k  ． 又 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 22 2 2 2 y y kx b kx bk k x x x x                ， 整理，得     1 2 1 22 2 2 2 4 0k x x k b x x b       ， ∴    2 2 2 2 22 2 2 2 4 0b kbk k b bk k            ， ∴  2 2 2 1 0b b k b     ，即  1 2 2 0b b k    ，解得 1b   或 2 2b k  ． 当 1b   时，直线 l 为 1y kx  ，此时直线 l 恒过定点 0, 1 ． 当 2 2b k  时，直线 l 为  2 2 2 2y kx k k x      ，此时直线 l 恒过定点  2,2 （与 点 M 重合，舍去）． ∴直线 l 恒过定点 0, 1 21. 【 解 析 】（ 1 ） 当 1k  时 ，   2 lnf x x x  ， 所 以   12f x x x    ， 即   2 22 2 2x x f x x           ， 当 20 2x  时， 0 ，函数  f x 单调递减；当 2 2x  时， 0 ，函数  f x 单调递增， 所以函数  y f x 在 20, 2       上单调递减，在 2 ,2      上单调递增. （2）令        21 1 ln2F x f x g x x k x k x       ， 0x  ，     1x x kF x x     ①当 1k  时，   0F x  ，当且仅当 1x  时取等号，所以  F x 为减函数. 因为   31 02F   ，  4 ln 4 0F    ，所以  F x 在 1,4 内有唯一零点； ②当 1k  时，当 0 1x  或 x k 时，   0F x  ；当1 x k  时，   0F x  ， 所以  F x 在( )0,1 和 ,k  上单调递减，在  1,k 上单调递增. 因为   11 02F k   ，    2 2 ln 2 2 0F k k k     ， 所以  F x 在 1,2 2k  内有唯一零点； ③当 0 1k  时，当 0 x k  或 1x  时，   0F x  ；当 1k x  时，   0F x  ， 所以  F x 在 0,k 和  ,1 上单调递减，在 ,1k 上单调递增. 因为    2 2ln 02 kF k k k    ，    2 2 ln 2 2 0F k k k     ， 所以  F x 在 ,2 2k k  内有唯一零点. 综上可得方程    f x g x 有唯一零点. 22. 【解析】（1）将 2 2( 1) ( 1) 3x y    改称为 2 2 2 2 1 0x y x y     ， 化为极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 1 0        ； （2）将 3   代入 2 2 cos 2 sin 1 0        得， 2 ( 3 1) 1 0     ， 以为 2 1 ( 3 1) 4 8 2 3 0       ， 所以方程 2 ( 3 1) 1 0     有 2 个不同的根 1 ， 2 ， 所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为 1 2 8 2 3      . 23. 【解答】(1)当 1a 时，        212 123 112 21 xx x xx xxxf , , , )( 令 4)(xf ，解得 2 3 2 5-  x ，即解集为：     2 3，2 5-x (2)当 1a ，可得        1121 12121 2-21）1（- xaxa xaxa xaxa xf ),()( ,)( ),( )( ， )(xf 的图像与 x 轴围城的三角形面积等于 6 2a