2017-2018学年黑龙江佳木斯市富锦第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年黑龙江佳木斯市富锦第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

富锦一中2017-2018学年度第一学期高二第一次月考 ‎ 数学试卷 理科 ‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1．若椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为（　　） A．2 B．5 C．3 D． 7‎ ‎2. 椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（　　）A． B． C．2 D．‎ ‎4．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线的距离为（　　）‎ A．2 B． C．3 D．4‎ ‎5. 已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）‎ A．(，) B．(，) ‎ C．(，) D．(，) ‎ ‎6．已知圆C1：x2+y2﹣2x=0，圆C2：x2+y2﹣4y﹣1=0，两圆的相交弦为AB，则圆心C1 到AB的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣2‎ ‎ B． C．2 D． ‎ ‎8．已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距离为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9. 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎10.已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0，它们所表示的曲线可能是（　　）‎ A． B． C．D．‎ ‎11. B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线C的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）‎ ‎13．△ABC的两个顶点为A（﹣1，0），B（1，0），△ABC周长为6，则C点轨迹为　 　．‎ ‎14．抛物线y=4x2的焦点坐标是　　．‎ ‎15．若F1、F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P（8，y0）在双曲线上，则△F1PF2的面积为　　．‎ ‎16. 过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若，则双曲线的离心率是 。‎ 三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其他每题各12分，共70分）‎ ‎17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（1）求直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长；‎ ‎（2）求过点M（3，1）的圆C的切线方程．‎ ‎18．（12分）已知线段AB的端点B坐标是（3，4），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．‎ ‎19．（12分）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．‎ ‎（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程 ‎20．（ 12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值 ‎21．（ 12分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；‎ ‎（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角 ‎（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。‎ ‎22．（ 12分）过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；‎ ‎（1）求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；‎ ‎（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．‎ 答案及解析 ‎1．D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A 11.D 12.C ‎13. 14. 15.5 16. ‎ ‎17解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心为（1，2），半径长r=2，‎ ‎（1）圆心C（1，2）到直线2x﹣y+4=0的距离为：，‎ 所以直线2x﹣y+4=0被圆C所截得的弦长为：‎ ‎（2）因为（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＞4，所以点M在圆外，‎ 当切线斜率存在时，设切线方称为：y﹣1=k（x﹣3）‎ 即kx﹣y﹣3k+1=0，‎ 圆心C（1，2）到直线kx﹣y﹣3k+1=0的距离为：‎ 由题意有：，所以 此时切线方称为：，即3x﹣4y﹣5=0，‎ 当切线斜率不存在时，直线x=3也与圆相切．‎ 综上所述，所求切线方称为：3x﹣4y﹣5=0或x=3．‎ ‎18.解答： 圆（x+1）2+y2=4的圆心为P（﹣1，0），半径长为2，‎ 线段AB中点为M（x，y）取PB中点N，其坐标为N（1，2）‎ ‎∵M、N为AB、PB的中点，∴MN∥PA且MN=PA=1．‎ ‎∴动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆．‎ 所求轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．也可用相关点法 ‎19.（Ⅰ）点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C（﹣2，﹣7），‎ ‎∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，﹣3），‎ ‎∴圆E的半径为|AE|=5，‎ ‎∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=25．…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，…（7分）‎ 当直线l的斜率存在时，设l：y﹣1=k（x﹣4），‎ ‎∴圆心E到直线l的距离d=，∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，‎ ‎∴=3，解得k=，∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0．‎ 综上所述，直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0．…（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴∴b=∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，‎ ‎∴∴k=±1．‎ ‎21.（1）易知，，‎ 所以，，设P，则 因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值－2；‎ 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1。‎ ‎（2）显然直线不满足题设条件。‎ 可设直线：，A（），B（）‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴， ‎ 由得：或 ①‎ 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即，∴ ②‎ 故由①②得或。‎ ‎22（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x；‎ ‎（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），‎ 设A（m，2m），B（n，﹣2n），‎ 由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，‎ 即有A（+1，2+2），‎ 可得PA的斜率为k==2，‎ 则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；‎ ‎（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，‎ 设A（m，2m），B（n，﹣2n），‎ 由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，‎ 解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，‎ 则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|‎ ‎=5|x02﹣|=5为定值． ‎