2018-2019学年江苏省如东高级中学高二上学期第二次月考数学试题 解析版

2018-2019学年江苏省如东高级中学高二上学期第二次月考数学试题 解析版

绝密★启用前 江苏省如东高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．命题“”的否定是______ 命题（填“真”或“假”）．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：“，”的否定是，‎ 考点：命题否定 ‎【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题.‎ ‎2．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出平均值，然后根据方差的计算公式，计算出数据的方差.‎ ‎【详解】‎ 平均值为，所以方差为 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查样本方差的运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出内的频率，然后乘以总人数，得到这个范围内的人数.‎ ‎【详解】‎ 内的频率为，故人数为人.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查频率分布直方图，考查频率的计算和频数的计算，属于基础题.‎ ‎4．若是不等式成立的充分不必要条件,则实数的范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得不等式的解集，然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 不等式可转化为，解得，由于是 的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题.一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集.集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性.‎ ‎5．运行如图所示的伪代码，其结果为______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据伪代码的计算过程，列式，然后计算出最后的结果.‎ ‎【详解】‎ 伪代码用于计算.故结果为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查求出程序运行的结果，根据循环结构列出表达式，由此计算得最后的结果，属于基础题.‎ ‎6．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于，所以，的渐近线方程为.‎ 考点：双曲线的简单几何性质.‎ ‎7．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是____．‎ ‎【答案】7500‎ ‎【解析】‎ 设总人数为，则分层抽取比例为，而大一，大二共抽取300人，且大一，大二的总人数为，所以得 ‎8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由己知正六棱锥的高为，底面面积为，所以.‎ 考点：几何体的体积.‎ ‎9．若椭圆的离心率，则的值为 .‎ ‎【答案】0或；‎ ‎【解析】试题分析：由题意得： ，即或， ‎ 考点：椭圆离心率 ‎【名师点睛】‎ ‎1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．‎ ‎2．e与a，b间的关系e2＝＝1－2.‎ ‎10．已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若内不共线的三点到的距离都相等，则；④若，且，则；⑤若为异面直线，，则。则其中正确的命题是_______．（把你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎【答案】②⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊情况，根据线线、线面、面面的位置关系对五个命题逐一进行排除，从而得出正确命题的序号.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于可能相交，故①错误.对于②，由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故②正确. ③如下图所示，三个点不共线，它们到的距离都相等，当时两个平面相交，故③错误.对于④，由于两条直线不一定相交，所以无法判断两个平面平行，故④错误.对于⑤命题等价于平面内两条相交直线和另一个平面平行，可以推出面面平行，故⑤正确.综上所述，正确的是②⑤.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间点线面的位置关系，考查面面平行的判定定理的理解，属于基础题.‎ ‎11．抛物线上的点到焦点的距离为5，则的值为 _______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义，求得的值，将的横坐标代入抛物线方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 根据抛物线的定义可知，故，所以抛物线方程为，当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，抛物线方程的求解，考查抛物线上点的坐标的求法，属于基础题.‎ ‎12．如图,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离.‎ ‎【详解】‎ 根据球的体积公式，有.题目所给图中，虚线的小正方形的边长为，其一半为，四个等腰直角三角形斜边上的高为.画出截面图形如下图所示，其中 ‎，故.所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查球体和其它几何体组合的问题，解题的策略是通过截面图，构造直角三角形来求解.属于中档题.‎ ‎13．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出关于直线的对称点，利用三点共线和点到直线的距离，求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 作出关于直线的对称点，过作的垂线，交于，交与，过作，交于，连接.画出图像如下图所示，由于，故为最短的距离.在三角形中，设，则，而，故，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间两条线段距离之和的最小值问题的求解策略，要有一定的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎14．设椭圆： 的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．‎ ‎|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|‎ 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，‎ 要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c,‎ ‎，，则椭圆离心率的取值范围是．‎ 故答案为：‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．设命题:实数满足，其中，命题实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）当时，． ． 据此可得的取值范围是． ‎ ‎（2）由题意可知q是p的充分不必要条件， 其中，, ‎ 且，故．‎ 详解：（1）当时，由，得． ‎ 由，得，所以． ‎ 由p∧q为真，即p，q均为真命题，‎ 因此的取值范围是． ‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， ‎ ‎ 由题意可得，, ‎ ‎ 所以，因此且，解得．‎ 点睛：本题主要考查命题的相关结论，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：∥平面.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2) 取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：因为为棱的中点，且，‎ 所以，‎ 因为是直三棱柱，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以， ‎ 又因为，且，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面. ‎ ‎(2)取的中点，连接和，‎ 因为为棱的中点，‎ 所以，且，‎ 因为是棱柱，‎ 所以，‎ 因为为棱的中点，‎ 所以，且， ‎ 所以，且，‎ 所以是平行四边形， ‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.‎ ‎17．已知菱形的边长为2，， 四边形是矩形，且平面，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设中点为，求证平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面//平面，由在平面内，结合线面平行的定义可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得,利用线面垂直的判断定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明： 平面//平面//平面 ‎（2）证明：因为中点为，则由，‎ 且计算可得：，‎ 又，所以，,‎ 又，所以平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定、线面垂直的判定，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎18．椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于，故，将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理，利用列方程，化简后可求得 ‎.（2）根据椭圆的离心率的取值范围，转化为的范围，再结合（1）的结论将转化为的形式，由此求得的取值范围，进而求得长轴的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，由于，故，而代入上式化简得①.‎ ‎ ，‎ 由韦达定理得 代入①化简得 . ‎ ‎（2） ‎ 由（1）知 ‎.‎ ‎∴长轴 2a ∈ [].‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查两条直线垂直的坐标表示，考查椭圆离心率，属于中档题.‎ ‎19．某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境.‎ ‎(1)若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆()的面积为)‎ ‎(2)若椭圆的离心率为，要求灯光区的周长不小于，求PG的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的长求得的值.首先求出直线所在的直线方程，设出与此直线平行，且与半椭圆相切的直线方程，利用两平行线间的距离求得相切直线的方程，代入椭圆方程利用判别式等于零求得的值.（2）根据椭圆的离心率和的值，利用求得的值，即求得椭圆方程，求得焦点的坐标.设出点的坐标，代入椭圆方程，由此写出周长的表达式，列不等式，解不等式可求得点横坐标的取值范围，减去后得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以直线的斜率为，‎ 所以所在的直线方程为。‎ 因为椭圆上任意一点到道路的距离都小于，‎ 所以椭圆最大面积时与一条平行于且距离为的直线相切，‎ 设直线，‎ 由两条直线之间的距离为，所以，‎ 解得或（舍弃）‎ 设椭圆方程为，‎ 由于得到 因为直线与椭圆相切，所以，解得，‎ 所以椭圆方程为，‎ 所以椭圆分面积为。‎ ‎（2）设椭圆方程为，‎ 因为椭圆的离心率为，所以，所以。‎ 所以椭圆方程为 设，则灯光区的周长 由题意，‎ 所以，所以 ‎∴ ，‎ 所以，即，‎ 又因为在的右侧，所以，所以 所以的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形周长的最值的求法，属于中档题.要求椭圆方程，就需要有两个条件，本题题目中给定的值，所以只需要再有一个条件，就可以求得椭圆方程.第一问所给的条件是椭圆上的点到直线的最小距离，第二问所给的条件是椭圆的离心率，根据所给条件，建立方程，即可求得的值，从而求得椭圆的方程.‎ ‎20．已知椭圆C：，圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）过点P作互相垂直的两条直线l1 .l2 ， 且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，只需列出两个独立条件，解方程组即可：一是圆心在椭圆上，即，二是根据两点间距离公式得，解得，，（2）设直线：，直线的方程为，根据几何条件得,所以△的面积等于,先根据点到直线距离公式得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式得,即，最后根据分式函数值域求法得范围 试题解析：（1）圆：的圆心为，‎ 代入椭圆方程可得，‎ 由点到椭圆的右焦点的距离为，即有，‎ 解得，即，‎ 解得，，‎ 即有椭圆方程为．‎ ‎（2）依题意知直线斜率必存在，当斜率为0时，直线：，‎ 代入圆的方程可得，可得的坐标为，又，‎ 可得的面积为；‎ 当直线斜率不为0时设直线：，代入圆的方程可得 ‎，‎ 可得中点，‎ ‎，‎ 此时直线的方程为，代入椭圆方程，可得：‎ ‎，‎ 设，，可得，，‎ 则 ，‎ 可得的面积为，‎ 设（），可得，‎ 可得，且，‎ 综上可得，△的面积的取值范围是．‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.‎