2017-2018学年山东省淄博第一中学高二1月月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年山东省淄博第一中学高二1月月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省淄博第一中学高二1月月考 理科数学试题 ‎ 2018年1月 一、 选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个选项正确）‎ ‎1. 现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；‎ ‎②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；‎ ‎③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．‎ 较为合理的抽样方法是 (　　)‎ A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 ‎ B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 ‎ D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 ‎2. 已知下列四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎3. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 ‎4. ‎2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币。如图所示的是一枚‎8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元。为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）‎ A. mm2 B. mm‎2 C. mm2 D. mm2 ‎ ‎5. 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（ ）‎ A. 10 B. ‎11 C. 12 D. 13‎ 6. 双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为300的直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点，若点A平分F1B，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎7. 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎8. 下列命题：‎ ‎①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；‎ ‎②命题或，命题，则是的必要不充分条件；‎ ‎③“”的否定是“”；‎ ‎④“若，则”的否命题为“若，则”；‎ 其中正确的个数是（ ） A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎9. 小王计划租用A,B两种型号的小车安排30名队友（都有驾驶证）出去游玩， A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）‎ A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元 ‎10. 已知椭圆：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线的距离等于，则椭圆E的焦距长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 11. ‎ 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. m>－6 B. m<－‎6 C. m>－8 D. m<－8‎ ‎12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1 ，F2，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，则的最大值是（ ）‎ A. ‎ B. C. 2 D. 3‎ 二、 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.执行程序框图，该程序运行后输出的S的值是__________．‎ ‎14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上，则____________‎ ‎15.已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到轴的最短距离为 _________‎ ‎16.下列四个命题：‎ ‎①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣；‎ ‎③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则＋的最小值为5+2；‎ ‎④在△ABC中，若sin‎2A＜sin2B+sin‎2C，则△ABC为锐角三角形．‎ 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 17. ‎（本题满分10分）‎ ‎（1）若抛物线的焦点是椭圆左顶点，求此抛物线的标准方程；‎ ‎（2）某双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求此双曲线的标准方程.‎ 18. ‎（本题满分12分）‎ 在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知c=， ΔABC的面积为，又 tanA＋tanB=(tanAtanB－1)‎ ‎（1）求角C的大小； （2）求a+b的值。‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知； 方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）当时，判断的真假；（2）若为假，求的取值范围.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示. ‎ ‎(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图)；‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185]‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.000‎ ‎(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求每组各抽取多少位学生进入第二轮面试．‎ ‎(3)在(2)的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知正项等比数列满足 （1） 求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.‎ 22. ‎（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点 是坐标平面内一点，且， （为坐标原点）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过该点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。‎ 理科数学试题 一。选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个选项正确）‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可； 在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好； 在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好． 故选A ‎2.【答案】C ‎【解析】 ①中，因为，所以，因此①能推出成立；‎ ‎②中，因为，所以，所以，所以，因此②正确的；‎ ‎③中，因为，所以，所以③不正确的；‎ ‎④中，因为，所以，所以③正确的；‎ ‎ 故选C.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】由于，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即“至多有一张移动卡”．选A。‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为，得半径 则圆形金质纪念币的面积为 所以估计军旗的面积大约是 故答案选 ‎5.【答案】C ‎【解析】试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88，‎ ‎∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3‎ 又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，‎ ‎∴m+n=12‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】因为AO分别是的中点，所以∥，故，在中， ,设，则，又，即，由得，所以， ，故选A.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】设,则 ,所以 ,选A.‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 对于①“在中，若，则 ” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；‎ 对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；‎ 对于③，“”的否定是“” ,所以③不对；‎ 对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，‎ 故选C．‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，‎ 则 其中x，y满足不等式组， ‎ 作出可行域：‎ 当直线经过D点时，z最小，此时D（1,5）‎ ‎∴租车所需的最少租金为 故选：D ‎10.【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，可得，解得，取，可得点到直线的距离，即有，解得，，则焦距为，故选B.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】不等式即： 恒成立，‎ 则 结合可得： ，‎ 由均值不等式的结论有：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 据此可得实数的取值范围是.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12.【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎,‎ ‎， ‎ 设,‎ 则，在中根据余弦定理可得到 化简得： ‎ 该式可变成： ‎ ‎,‎ 故选 二、 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.【答案】－9‎ ‎【解析】由程序框图得：‎ 第一次运行： ， ‎ 第二次运行： ， ‎ 第三次运行： ， ，不满足条件，输出 故答案为 ‎14.【解析】点在直线上，所以.‎ ‎.‎ ‎15.【解析】由题意得抛物线的准线的方程为，过A作于，过B作于，设弦AB的中点为M，过M作于，则，设抛物线的焦点为F，则，即（当且仅当三点共线时等号成立），所以，解得。即弦的中点到轴的最短距离为。‎ ‎16.【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①利用命题的逻辑关系可判断；‎ ‎②根据等差数列和等比数列的性质判断 ‎③根据条件，进行变形即可；‎ ‎④根据正弦定理得出边的关系，进行判断．‎ 解：①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题，故正确；‎ ‎②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣或零，故错误；‎ ‎③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+=+=5++≥5+2，故正确；‎ ‎④在△ABC中，若sin‎2A＜sin2B+sin‎2C，可推出a2＜b2+c2，A为锐角，但不能得出是锐角三角形，故错误．‎ 故答案为①③．‎ 二、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 17. ‎（本题满分10分）‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆左顶点为，‎ 设抛物线的方程为，‎ 可得，‎ 计算得出，‎ 则抛物线的标准方程为；‎ ‎（2）椭圆的焦点为，‎ 可设双曲线的方程为，‎ 则，‎ 由渐近线方程，‎ 可得，‎ 计算得出，‎ 则双曲线的方程为.‎ 18. ‎（本题满分12分）‎ ‎【解析】试题解析：（1）,‎ ‎, ‎ 又∵为的内角 ‎，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由，及得， ‎ ‎ 又， ．‎ ‎． ‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎【解析】试题解析：‎ 因为，‎ 所以若为真，则，‎ 由得，‎ 若为真，则，解得。‎ ‎（1）当时， 为假命题，为真命题，故为真命题；‎ ‎（2）若为真，则 ，‎ 所以，若为假，则或，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ ‎[解析]　(1)由题可知，第2组的频数为0. 35×100＝35(人)，第3组的频率为＝0. 300，频率分布直方图如下图．‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．‎ ‎(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，‎ ‎(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，‎ ‎(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．‎ 第4组至少有一位同学入选的有：‎ ‎(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．共9种可能．所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为＝．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 试题解析：‎ ‎（1）设公比为，∵，∴， ‎ ‎∵‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 故 22. ‎（本题满分12分）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设的坐标，利用和求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a,b和c的关系求出b，则椭圆的方程可得.‎ ‎（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设， ，则可根据韦达定理表示出和，假设在y轴上存在定点，满足题设，则可表示出，利用，求出m的值 试题解析：（1）设， ， ，则由，得；‎ 由得，‎ 即.‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 因此所求椭圆的方程为： .‎ ‎（2）设动直线的方程为： ，‎ 由得.‎ 设， ，则， .‎ 假设在轴上是否存在定点，满足题设，则， .‎ ‎ ‎ 由假设得对于任意的， 恒成立，‎ 即解得.‎ 因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，‎ 点的坐标为.‎ ‎ ‎