2019年高考数学高分突破复习课件专题二 第1讲

2019年高考数学高分突破复习课件专题二 第1讲

第 1 讲　等差数列与等比数列 高考定位　 1. 等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现； 2. 数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第 (1) 问出现，难度中档以下 . 1. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 等差数列 { a n } 的首项为 1 ，公差不为 0. 若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 前 6 项的和为 ( 　　 ) A . － 24 B. － 3 C.3 D.8 答案　 A 真 题 感 悟 答案 　 D 3. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. 解析 　 因为 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，解得 a 1 ＝－ 1 ， 答案 　－ 63 4. (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 5 ＝ 4 a 3 . ( 1) 求 { a n } 的通项公式； ( 2) 记 S n 为 { a n } 的前 n 项和 . 若 S m ＝ 63 ，求 m . 解 　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设得 a n ＝ q n － 1 . 由 已知得 q 4 ＝ 4 q 2 ，解得 q ＝ 0( 舍去 ) ， q ＝－ 2 或 q ＝ 2. 故 a n ＝ ( － 2) n － 1 或 a n ＝ 2 n － 1 . 由 S m ＝ 63 得 ( － 2) m ＝－ 188 ，此方程没有正整数解 . 若 a n ＝ 2 n － 1 ，则 S n ＝ 2 n － 1. 由 S m ＝ 63 得 2 m ＝ 64 ，解得 m ＝ 6. 综上， m ＝ 6. 1. 等差数列 考 点 整 合 2. 等比数列 热点一　等差、等比数列的基本运算 【例 1 】 (1) (2018· 潍坊三模 ) 已知 { a n } 为等比数列，数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 5 ，且 a n ( b n ＋ 1 － b n ) ＝ a n ＋ 1 ，则数列 { b n } 的前 n 项和为 ( 　　 ) 解析　 由 b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 5 ，且 a n ( b n ＋ 1 － b n ) ＝ a n ＋ 1 . 从而 b n ＋ 1 － b n ＝ 3 ，则数列 { b n } 是首项为 2 ，公差为 3 的等差数列 . 答案 　 C (2) (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 1 ＝－ 7 ， S 3 ＝－ 15. ① 求 { a n } 的通项公式； ② 求 S n ，并求 S n 的最小值 . 解　 ① 设 { a n } 的公差为 d ，由题意得 3 a 1 ＋ 3 d ＝－ 15. 由 a 1 ＝－ 7 得 d ＝ 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n － 9. ② 由 ① 得 S n ＝ n 2 － 8 n ＝ ( n － 4) 2 － 16. 所以当 n ＝ 4 时， S n 取得最小值，最小值为－ 16. 探究提高 　 1. 等差 ( 比 ) 数列基本运算的解题途径： (1) 设基本量 a 1 和公差 d ( 公比 q ). (2) 列、解方程组：把条件转化为关于 a 1 和 d ( q ) 的方程 ( 组 ) ，然后求解，注意整体计算，以减少运算量 . 2. 第 (2) 题求出基本量 a 1 与公差 d ，进而由等差数列前 n 项和公式将结论表示成 “ n ” 的函数，求出最小值 . 【训练 1 】 (1) (2018· 郑州调研 ) 已知等差数列 { a n } 的公差为 2 ， a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ( 　　 ) A. n ( n － 2) B. n ( n － 1) C. n ( n ＋ 1) D. n ( n ＋ 2) 答案　 A (2) (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 2. ① 若 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，求 { b n } 的通项公式； ② 若 T 3 ＝ 21 ，求 S 3 . 解　 ① 设 { a n } 公差为 d ， { b n } 公比为 q ， 故 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n － 1 . ∴ 当 d ＝－ 1 时， S 3 ＝－ 6 ；当 d ＝ 8 时， S 3 ＝ 21. (2) ∵ S n ＝ 2 a n － 2 ， ∴ n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 a 1 － 2 ，解得 a 1 ＝ 2. 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 － (2 a n － 1 － 2) ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ 数列 { a n } 是公比与首项都为 2 的等比数列， ∴ a n ＝ 2 n . ∴ b n ＝ 10 － log 2 a n ＝ 10 － n . 由 b n ＝ 10 － n ≥ 0 ，解得 n ≤ 10. ∴ { b n } 前 9 项为正，第 10 项为 0 ，以后各项为负， ∴ 使数列 { b n } 的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10. 答案 　 (1)D 　 (2)9 或 10 探究提高 　 1. 利用等差 ( 比 ) 性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 . 2. 活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 . (2) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 答案 　 (1)D 　 (2)B 则 S n ＋ 1 ( S n ＋ 1 － 2 S n － λ ) ＝ 0. ∵ a n >0 ，知 S n ＋ 1 >0 ， ∴ S n ＋ 1 － 2 S n － λ ＝ 0 ， 故 S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ λ . (2) 解　 由 (1) 知， S n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ λ ， 当 n ≥ 2 时， S n ＝ 2 S n － 1 ＋ λ ， 两式相减， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ， 所以数列 { a n } 从第二项起成等比数列，且公比 q ＝ 2. 又 S 2 ＝ 2 S 1 ＋ λ ，即 a 2 ＋ a 1 ＝ 2 a 1 ＋ λ ， ∴ a 2 ＝ a 1 ＋ λ ＝ 1 ＋ λ >0 ，得 λ > － 1. 若数列 { a n } 是等比数列，则 a 2 ＝ 1 ＋ λ ＝ 2 a 1 ＝ 2. ∴ λ ＝ 1 ，经验证得 λ ＝ 1 时，数列 { a n } 是等比数列 . 【迁移探究】 若本例中条件 “ a 1 ＝ 1” 改为 “ a 1 ＝ 2” 其它条件不变，试求解第 (2) 问 . 解　 由本例 (2) ，得 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ( n ≥ 2 ， n ∈ N * ). 又 S 2 ＝ 2 S 1 ＋ λ ， ∴ a 2 ＝ a 1 ＋ λ ＝ 2 ＋ λ >0. ∴ a n ＝ (2 ＋ λ )·2 n － 2 ( n ≥ 2). 又 a 1 ＝ 2 ，若 { a n } 是等比数列， ∴ a 2 ＝ (2 ＋ λ )·2 0 ＝ 2 a 1 ＝ 4 ， ∴ λ ＝ 2. 故存在 λ ＝ 2 ，此时 a n ＝ 2 n ，数列 { a n } 是等比数列 . 【训练 3 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. ( 1) 求 { a n } 的通项公式； ( 2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 解　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设可得 故 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 2) n . ∴ S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 成等差数列 . 热点四　等差数列与等比数列的综合问题 【例 4 】 (2018· 天津卷 ) 设 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ； { b n } 是等比数列 ，公比 大于 0 ，其前 n 项和为 T n ( n ∈ N * ). 已知 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ， b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ， b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 . ( 1) 求 S n 和 T n ； ( 2) 若 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n ，求正整数 n 的值 . 解　 (1) 设等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0). 由 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ，可得 q 2 － q － 2 ＝ 0. 因为 q >0 ，可得 q ＝ 2 ，故 b n ＝ 2 n － 1 . 设等差数列 { a n } 的公差为 d . 由 b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ，可得 a 1 ＋ 3 d ＝ 4. 由 b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 ，可得 3 a 1 ＋ 13 d ＝ 16 ，从而 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 1 ，故 a n ＝ n . 整理得 n 2 － 3 n － 4 ＝ 0 ，解得 n ＝－ 1( 舍 ) ，或 n ＝ 4. 所以， n 的值为 4. 探究提高　 1. 等差数列与等比数列交汇的问题，常用 “ 基本量法 ” 求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便 . 2. 数列的通项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 . 【训练 4 】 (2018· 武汉质检 ) 在公比为 q 的等比数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 16 ，且 a 1 ， a 2 ＋ 2 ， a 3 成等差数列 . ( 1) 求数列 { a n } 的通项公式； ( 2) 若 q <1 ，求满足 a 1 － a 2 ＋ a 3 － a 4 ＋ … ＋ a 2 n － 1 － a 2 n >10 的最小正整数 n 的值 . 解　 (1) 依题意， 2( a 2 ＋ 2) ＝ a 1 ＋ a 3 ，且 a 1 ＝ 16. ∴ 2(16 q ＋ 2) ＝ 16 ＋ 16 q 2 ，即 4 q 2 － 8 q ＋ 3 ＝ 0. (2) 由 (1) 知，当 q <1 时， a n ＝ 2 5 － n . ∴ n >2 ，正整数 n 的最小值为 3. 1. 在等差 ( 比 ) 数列中， a 1 ， d ( q ) ， n ， a n ， S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个 . 解这类问题时，一般是转化为首项 a 1 和公差 d ( 公比 q ) 这两个基本量的有关运算 . 2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 . 但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 .