湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：坐标系与参数方程
湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
坐标系与参数方程
1、（常德市2019届高三上学期检测）在平面直角坐标系中，已知曲线为参数），圆.
以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）写出曲线与圆的极坐标方程。
（II）在极坐标系中，已知射线分别与曲线及圆相交于，当时，求的最大值.
2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．
3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;
(2)若射线与曲线C交于点A(不同于原点)，与直线l交于点B.直线l
与极轴所在直线交于点D.求的值.
4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）在直角坐标系中，曲线C1: ，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心极坐标为（3，)，半径为1的圆。
（1）求曲线C1的参数方程和C2的直角坐标方程；
（2）设M，N分别为曲线C1、C2上的动点，求|MN|的取值范围.
5、（湖南师大附中2019届高三月考试题（七））在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.
6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）写出圆的直角坐标方程；
（2）设直线与圆交于，两点，求弦长.
7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.
8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）在平面直角坐标系中，直线为参数，0
0).
(1)分别写出圆C1的普通方程与圆C2的直角坐标方程；
(2)设圆C1与圆C2的公共弦的端点为A,B,且的面积为，求的值.
11、（长郡中学2019届高三第六次月考）在直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P(，0)作斜率为1的直线，直线与圆C交于A，B两点，试求 的值.
12、（雅礼中学2019届高三第五次月考）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，以极点为原点O，极轴为x
轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C 2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求的最小值
13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为
（Ⅰ）求直线 的极坐标方程
（Ⅱ）设曲线与曲线的一个交点为点（不为极点），直线与的交点为，求.
14、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））已知曲线C的参数方程为(θ为参数)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R)与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．
15、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于原点，且，求的值.
16、（怀化市2019届高三3月第一次模拟）已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.
（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.
17、（雅礼中学2019届高三月考（七））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.
（1）求的参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.
18、（湖南师大附中2019届高三月考试题（七））在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.
参考答案：
1、解：(Ⅰ)曲线的普通方程为，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：，即. .............2分
曲线的极坐标方程为： . .............5分
(Ⅱ)因为与以点为顶点时，它们的高相同，
即 .............6分
由(Ⅰ)知，，
所以
.............8分
由得，
所以当即时，有最大值为 .............9分
因此 的最大值为. .............10分
2、解：（Ⅰ）直线普通方程为，曲线的极坐标方程为，，则，即为曲线的普通方程．
（Ⅱ）将（为参数，）代入曲线．
，
或．
3、
4、
5、（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，
得，所以曲线的极坐标方程是.
由，得.将，代入，得，
所以曲线的直角坐标方程是.
（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.
将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.
所以 ，
据题意，直线的斜率存在且不为0，则，
所以当，即时，取最大值，且.
解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.
设点，的极坐标分别为，，则，.
所以 .
据题意，直线的斜率存在且不为0，则，
所以当，即时，取最大值，且.
6、解：（1）由，得圆的直角坐标方程为
，即
（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得
即，设两交点，所对应的参数分别为，，从而
，
则
7、（1）曲线的普通方程，其中，；
曲线的直角坐标方程.
（2）将代入，
化简得，因为，所以.
设两点对应的参数分别为，，则有，，
，
所以的取值范围是.
8、
9、（1）曲线：化为直角坐标方程为：
过点直线的直角坐标方程为：
（2）将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立可得：
则（其中、为方程的两根）
又点在上，则，
故
10、
11、
12、
13、【解析】
（Ⅰ） -----------------------------------4分
（Ⅱ）法1：由得 -----------------------------------5分
点A的极坐标又点B在直线OA上，所以设B的极坐标为
由得，所以
----------------------------------10分
法2：曲线与曲线的直角坐标为
由 得点A的坐标 ----------------------------------5分
所以直线OA的方程为
由 得点B的坐标为 ----------------------------------7分
所以
---------------------------------10分
或者： ------------------9分
---------------------------------10分
14、【解析】(1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝22，
由得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分
(2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，
设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝2sin，
由|OM|＝||，得|OM|＝≤，
当α＝时，|OM|取最大值.10分
15、（1）由消去参数可得普通方程为，
∵，∴，由 ，得曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线，其极坐标方程为，由题意设，则，
∴，∴，∵，∴.
16、解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），
∴曲线的普通方程为
∵直线的极坐标方程是：
∴
∴直线的直角坐标方程为
（2）∵点是曲线上的动点，
∴设，则到直线的距离：
，
∴当时，点到直线距离取最大值
当时，点到直线距离取最小值
17、（1）由题意知：，，所以，，
即，可化为，，
可得的参数方程为（为参数，）.
（2）设，由（1）知是以为圆心，1为半径的上半圆，
因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，
∴，解得，即，
故的直角坐标为，即.
18、（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，
得，所以曲线的极坐标方程是.
由，得.将，代入，得，
所以曲线的直角坐标方程是.
（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.
将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.
所以 ，
据题意，直线的斜率存在且不为0，则，
所以当，即时，取最大值，且.
解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.
设点，的极坐标分别为，，则，.
所以 .
据题意，直线的斜率存在且不为0，则，
所以当，即时，取最大值，且.
