2014全国（文科数学）高考试题
2014·全国卷(文科数学)
1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
1．B [解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.
2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D．－
2．D [解析] 根据题意，cos α＝＝－.
3．、[2014·全国卷] 不等式组的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
3．C [解析] 由得即0
－1，所以y∈R，所以函数y＝ln(＋1)(x>－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．
6．[2014·全国卷] 已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．B [解析] 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.
7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
7．C [解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．
8．[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
8．C [解析] 设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63.
9．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4 ，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
9．A [解析] 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
10．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π
C．9π D.
10．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA2＝OE2＋AE
2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝.
11．[2014·全国卷] 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
11．C [解析] 易知双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，不妨设焦点(c，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离为，则＝，整理得b＝.又双曲线C的离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以c＝2，即2c＝4，即双曲线C的焦距等于4.
12．[2014·全国卷] 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
12．D [解析] 因为f(x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1.
13．[2014·全国卷] (x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
13．－160 [解析] (x－2)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－2)r，令6－r＝3，解得r＝3.因为C(－2)3＝－160，所以x3的系数为－160.
14．、[2014·全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
14. [解析] 因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋，所以当sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取得最大值，最大值为.
15．[2014·全国卷] 设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
15．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界)，z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的截距最大时z的值．结合题意知，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值，联立x－y＝0和x＋2y＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.
16．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
16. [解析] 如图所示，根据题意知，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan ∠OPA＝＝＝，故tan ∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.
17．[2014·全国卷] 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
17．解：(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2，得
an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，
即an＋1－an＝2n－1.
于是(2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，
即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.
18．、[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，
所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝，
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.
19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B；
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小．
图11
19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA1C1C.
连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.
由三垂线定理得AC1⊥A1B.
(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.
作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.
又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝.
因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D＝A1E＝.
作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB，
故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角．
由AD＝＝1，得D为AC中点，
所以DF＝，tan∠A1FD＝＝，
所以cos∠A1FD＝.
所以二面角A1 AB C的大小为arccos.
方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．
(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．
由||＝2，得＝2，即
a2－4a＋c2＝0. ①
又·＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.
(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，
则m⊥，m⊥，即m·CB＝0，m·＝0.
因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0，且(a－2)x＋cz＝0.
令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.
又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，
所以c＝，
代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，
于是＝(－1，0，)．
设平面ABA1 的法向量n＝(p，q，r)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，
所以－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.令p＝，则q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．
又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故
cos〈n，p〉＝＝，
所以二面角A1 AB C的大小为arccos.
20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．
20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.
B表示事件：甲需使用设备．
C表示事件：丁需使用设备．
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
E表示事件：同一工作日4人需使用设备．
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.
(2)由(1)知，若k＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，
P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.
若k＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，
所以k的最小值为3.
21．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．
(ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根；
x1＝，x2＝.
若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．
若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；
当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．
(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.
综上，a的取值范围是∪(0，＋∞)．
22．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与 y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
22．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋ y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而
|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
