2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试 数学 word版
2019-2020学年度第一学期汕头市金山中学期中考试数学科试卷
命题：
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x|log2x<1},B={x|x2+x-2<0},则A∪B=( )
A. (-∞,2) B. (0,1) C. (-2,2) D. (-∞,1)
2. 已知a=21.3,b=40.7,c=log38,则a,b,c的大小关系为( )
A. a
b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,
且PF1⋅(OF1+OP)=0(O为坐标原点),若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率为( )
A. 6-3 B. 6-32 C. 6-5 D. 6-52
12. 设函数的定义域为,若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率为_________．
14. 过圆x2+y2=5上一点M(2,-1)作圆的切线, 则该切线的方程为_________．
15. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,
AD=2AB=6,则该球的体积为_________．
16. 已知棱长为的正方体中，点分别是的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：
①平面；②；③与平面不垂直；④当变化时，不是定直线.
其中不成立的结论是 .（填写所有不成立结论的编号）
三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分10分）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,a3+a5=14．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1,若{bn}的前n项和为Tn,证明：Tn<12．
16. （本小题满分12分）某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟),并将所得数据制成频率分布直方图(如图),若上学路上所需时间的范围为[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]．
(1)求直方图中a的值；
(2)如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,若招收学生1200人,请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；
(3)求该校学生上学路上所需的平均时间．
17. （本小题满分12分）如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,M、N分别是BC,CC1的中点．
(1)求证：BN⊥平面AMB1；
(2)求直线AB与平面AMB1所成角的余弦值．
18. （本小题满分12分）已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线
x+3y-15=0上．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值．
15. （本小题满分12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点，且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,
证明：l过定点．
22.（本小题满分12分）设为实数，函数，.
（1）求证：不是上的奇函数；
（2）若是上的单调函数，求实数的值；
（3）若函数在区间上恰有个不同的零点，求实数的取值范围.
2018级高二上学期期中考试数学卷参考答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
B
D
D
D
B
A
B
D
A
A
二、 填空题
13. 16 14. 2x-y-5=0 15. 323π 16. ④
三、填空题
17.(1)解：等差数列{an}的公差为d,
由S9=9a5=81,得a5=9,
又由a3+a5=14,得a3=5,
由上可得等差数列{an}的公差d=a5-a35-3=2,
∴an=a3+(n-3)d=2n-1；
(2)证明：由题意得
bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12[1(2n-1)-1(2n+1)]．
所以Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)<12．
18.解：(1)由a×20+0.025×20+0.0055×20+0.003×2×20=1,
解得a=0.0135．
(2)∵上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿,招收学生1200人,
∴估计所招学生中有可以申请住宿人数为：
(0.0055+0.003×2)×20×1200=276．
(3)该校学生上学路上所需的平均时间为：
10×0.0135×20+30×0.025×20+50×0.0055×20+70×0.003×20+90×0.003×20=32.8．
19.(1)证明：因为AB=AC且M为BC的中点,所以AM⊥BC,
又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为平面BCC1B1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,
且平面BCC1B1∩平面ABC=BC,
所以AM⊥平面BCC1B1,
因为BN⊂平面BCC1B1,所以AM⊥BN,
因为M,N分别为BC,CC1的中点,所以BM=CN=2,
又因为BB1=CB=4,∠MBB1=∠NCB=90∘,
所以△MBB1≌△NCB,
所以∠BMB1=∠CNB,∠BB1M=∠CBN,
所以∠BMB1+∠CBN=∠CNB+∠CBN=90∘,
所以BN⊥B1M,
又因为AM⊂平面AMB1,B1M⊂平面AMB1,AM∩B1M=M,
所以BN⊥平面AMB1．
(2)解：设BN∩B1M=O,由(1)可知BO⊥平面AMB1,
所以AO为斜线AB在平面AMB1 内的射影,
所以∠BAO为AB与平面AMB1所成的角,
由题可知AN=BN=42+22=25,所以△ABN为等腰三角形,
作NE⊥AB于E,则E为AB的中点,所以NE=BN2-BE2=4,
由等面积法可知AO=AB×NEBN=4×425=85,
在Rt△AOB中,∠AOB=90∘,所以cos∠BAO=AOAB=8/54=255,
所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为255．
20. 解：(Ⅰ)依题意,所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点,
∵AB中点为(1,2)斜率为1,
∴AB垂直平分线方程为y-2=(x-1)即y=-x+3…(2分)
联立y=-x+3x+3y=15,解得x=-3y=6,即圆心(-3,6),
半径r=42+62=210…(6分)
∴所求圆方程为(x+3)2+(y-6)2=40…(7分)
(Ⅱ)|AB|=42+42=42,…(8分)
圆心到AB的距离为d=42…(9分)
∵P到AB距离的最大值为d+r=42+210…(11分)
∴△PAB面积的最大值为12×42×(42+210)=16+85…(12分)
21. 解：(1)根据椭圆的对称性,P3(-1,32),P4(1,32)两点必在椭圆C上,
又P4的横坐标为1,
∴椭圆必不过P1(1,1),
∴P2(0,1),P3(-1,32),P4(1,32)三点在椭圆C上．
把P2(0,1),P3(-1,32)代入椭圆C,得：
1b2=11a2+34b2=1,
解得a2=4,b2=1,
∴椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)证明：①当斜率不存在时,设l：x=m,A(m,yA),B(m,-yA),
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,
∴kP2A+kP2B=yA-1m+-yA-1m=-2m=-1,
解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．
②当斜率存在时,设l：y=kx+t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=kx+tx2+4y2-4=0,整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,
x1+x2=-8kt1+4k2, x1x2=4t2-41+4k2,
则kP2A+kP2B=y1-1x1+y2-1x2=x2(kx1+t)-x2+x1(kx2+t)-x1x1x2,
=2kx1·x2+(t-1)(x1+x2)x1·x2=8k(t-1)4(t+1)(t-1)=-1,
又t≠1,∴t=-2k-1,此时△=-64k,存在k,使得△>0成立,
∴直线l的方程为y=kx-2k-1,
当x=2时,y=-1,
∴l过定点(2,-1)．
22．解：（1）假设是上的奇函数，则对任意的，都有 （*）
取，得，即，解得，
此时，所以，，从而，
这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以不是上的奇函数；
（2）
①当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；
②当时，对称轴，所以在上单减，在上单增，在上单减，不符；
③当时，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递减，所以是上的单调减函数．
综上， ．
（3）①当时，由（2）知， 是上的单调减函数，至多个零点，不符；
②当时，由（2）知， ，所以在上单调递减，
所以在上至多个零点，不符；
③当时，由（2）知， ，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
因为在区间上恰有个零点，
所以，，，
解得或
又，故
综上，实数的取值范围是
