江西省景德镇市景德镇一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省景德镇市景德镇一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

景德镇一中2019-2020学年上学期高二期中考试数学理 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.下列命题正确的是（ ）.‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.两边同时平方，即可判断；B.代入，即可判断；‎ C.代入，即可判断；D.代入，即可判断。‎ ‎【详解】A. 当时，两边均为非负数，两边同时平方，不等号的方向不发生改变，可得正确；‎ ‎ B.代入，满足，但不满足；‎ C.代入，满足，但不满足；‎ D.代入，满足，但不满足；‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质及应用，选择适当数代入排除即可，属于基础题。‎ ‎2.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．‎ ‎【详解】由题意和等差数列的性质可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．‎ ‎3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由已知条件利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．‎ 详解：设第一天织尺，从第二天起每天比第一天多织尺， 由已知得 ‎ 解得 ， ∴第十日所织尺数为 ． 故选：B ．‎ 点睛：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，是基础的计算题．‎ ‎4.设实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值是（　　　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作平面区域，化z=3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值．‎ ‎【详解】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，‎ ‎，‎ 化z=3x+y为y=3x+z，‎ 从而可得当过点（3，1）时，有最小值，‎ 故z=3x+y的最小值为3×3+1=-8．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用．‎ ‎5.若关于x的不等式|ax2|＜3的解集为，则a=（　　　　）‎ A. B. 2 C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去掉绝对值，不等式化为1＜ax＜5，讨论a＞0和a=0与a＜0时，解不等式求得a的值．‎ ‎【详解】解：不等式|ax2|＜3可化为3＜ax2＜3，即1＜ax＜5；‎ 当a＞0时，解不等式得＜x＜，‎ 由不等式解集为，得a=3；‎ 当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意；‎ 当a＜0时，解不等式得＜x＜，不满足题意；‎ 综上知，a=3．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题．‎ ‎6.在等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（　　　　）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值．‎ ‎【详解】解：∵等比数列{an}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，‎ ‎∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，‎ 故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=，‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎7.方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（　　　　）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围．‎ ‎【详解】解：令f（x）=x2-2ax+1，‎ ‎∵方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴1＜a＜，‎ ‎∴a的取值范围为（1，）．‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题．‎ ‎8.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则2a-4b的取值范围是（　　　　）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可．‎ ‎【详解】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 当直线z=2a-4b过点A（，）时，z最小是-7，‎ 当直线z=2a-4b过点B（，）时，z最大是5，‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎9.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a7=（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．‎ ‎【详解】解：数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，‎ 当n=1时 当n≥2时，an+1=3Sn（n≥1）①，②，‎ ‎①-②得an+1-an=3an，‎ 所以当，而 所以数列{an}第二项起成4为公比的等比数列．‎ 所以．‎ 所以 故选:A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎10.数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得==2（-），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．‎ ‎【详解】解：数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，‎ 即有n≥2时，an-an-1=n，‎ 可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）‎ ‎=1+2+3+…+n=n（n+1），也满足上式 ‎==2（-），‎ 则=2（1-+-+…+-）‎ ‎=2（1-）=．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎11.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（　　　　）‎ A. 4 B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．‎ ‎【详解】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，‎ ‎∴a32=a1a13，‎ ‎∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，‎ 解得d=2．‎ ‎∴an=1+2（n-1）=2n-1．‎ Sn=n+×2=n2．‎ ‎∴==‎ ‎=n+1+-2≥2-2=4，‎ 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，‎ 故选:A．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．‎ ‎12.若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可．‎ ‎【详解】解：当n为奇数时，an=a，bn=2+，∴bn >2；‎ ‎∵an＜bn对任意n∈N*恒成立 ‎∴a≤2，即a≥2；‎ 当n为偶数时，an=a，bn=2，且当n增加时，bn增加；‎ ‎∴（bn）min=2=；‎ ‎∵an＜bn对任意n∈N*恒成立 ‎∴a＜．‎ 综上可得：2≤a＜．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可．‎ ‎【详解】解：由得，或，‎ 解得，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎14.数列{an}中，a1=60，且an+1=an+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为______．‎ ‎【答案】570‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果．‎ ‎【详解】解：数列{an}中，a1=60，且an+1=an+3，则an+1an=3（常数），‎ 故数列{an}是以首项为a1=60，公差为3的等差数列．‎ 所以an=60+3（n1）=3n63，‎ 当n=21时，a21=0，‎ 当0＜n≤21，|an|=an，‎ 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+a3+…+an）‎ ‎=-=．‎ 当n≥22时，|an|=an，‎ 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a21+a22+…+an，‎ ‎=2（a1+a2+…+a21）+（a1+a2+a3+…+an），‎ ‎=-，‎ ‎=630+，‎ 当n=40时，=630-60=570．‎ 故答案为：570‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎15.下列结论正确的序号是______．‎ ‎①当x≥2时，的最小值为2‎ ‎②当x＞0时，‎ ‎③当0＜x≤2时，无最大值 ‎④当x＞0且x≠1时，‎ ‎⑤当时，‎ ‎【答案】②⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可．‎ ‎【详解】解：①当x≥2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立；‎ ‎②当x＞0时，，当x=1时成立，‎ ‎③当0＜x≤2时，y=，y'=，递增，‎ x=2时，取最大值，故有最大值，‎ ‎④当x＞0且x≠1时，lgx可能小于0，故不成立，‎ ‎⑤当时，x＜0，y＜0，而，‎ 故利用基本不等式，又x不等于y，故成立．‎ 故答案为：②⑤‎ ‎【点睛】考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题．‎ ‎16.在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn满足，设，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥6的最小正整数n是______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：数列{an}中，a1=1，当n≥2时，‎ 其前n项和为Sn满足，‎ 整理得，‎ 所以（常数），‎ 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以，‎ 则，‎ 所以…=，‎ 所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；‎ ‎（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知：，解得． ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴，‎ 而时，‎ 当且仅当，即时取等号 而，∴的最小值为12．‎ ‎【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）m≤﹣或m≥1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)零点分段可得不等式的解集为{x|-}；‎ ‎(Ⅱ)由题意得到关于实数m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是m≤﹣或m≥1.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，‎ 可化为①或②或③，…‎ 解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，‎ 综合得原不等式的解集为{x|-}．‎ ‎（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，‎ 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…‎ 又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．‎ ‎19.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，n∈N*．‎ ‎（1）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=（a2n+2）log3（an+2），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1)证明见解析，．(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．‎ ‎【详解】证明：（1）数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，‎ 整理得an+1+2=3（an+2），n∈N*．‎ 即（常数），‎ 所以数列{an+2}是以3为首项，3为公比的等比数列．‎ 故，‎ 整理得．‎ ‎（2）由于，所以bn=（a2n+2）log3（an+2）=n•9n，‎ 所以①，‎ ‎9②，‎ ‎①-②得：=，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎20.设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．‎ ‎（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．‎ ‎【答案】(1) [，+∞）．(2)答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；‎ ‎（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．‎ ‎【详解】解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；‎ 即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；‎ 当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；‎ 当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，‎ 满足，解得a≥；‎ 综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．‎ ‎（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，‎ 得ax2+（1-a）x-1＜0，‎ ‎①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，‎ 不等式的解集为（-∞，1）；‎ 当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；‎ ‎②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，‎ ‎∴不等式的解集为（，1）；‎ ‎③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，‎ 当-1＜a＜0时，1＜，‎ 不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；‎ 当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．‎ 当a＜-1时，1＞，‎ 不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题．‎ ‎21.已知数列满足是数列的前项的和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；‎ ‎（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）.（3）或14.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，当时，由是首项为2，公差为1的等差数列.‎ ‎（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上.‎ ‎（3）假设存在正整数，使得（舍去）或14.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 所以当时，，‎ 当时，‎ 由，‎ 两式相除可得，，即 所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.‎ 于，.‎ ‎（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，‎ 所以，于是，或.‎ 当时，，解得，‎ 当时，，无正整数解，‎ 所以.‎ ‎（3）假设存在满足条件的正整数，使得，‎ 则，‎ 平方并化简得，，‎ 则，‎ 所以，或，或，‎ 解得：，或（舍去），‎ 综上所述，或14.‎ ‎22.已知数列{an}中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）对任意正整数n都成立，数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（1）若，且S2019=2019，求a；‎ ‎（2）是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，求Sn．‎ ‎【答案】(1) a=1；(2)存在满足要求的实数k有且仅有一个；(3) Sn=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a；‎ ‎（2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k；‎ ‎（3）k=，an+1=（an+an+2），an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，结合题意分类讨论，然后分组求和可得Sn．‎ ‎【详解】解：（1）k=，an+1=（an+an+2），‎ ‎∴数列{an}为等差数列，‎ ‎∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，‎ ‎∴S2019=2019=2019+×（a-1），解得a=1；‎ ‎（2）设数列{an}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a，‎ ‎∴am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，任意相邻三项 am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列，‎ ‎①an+1为等差中项，则2am+1=am+am+2．‎ 即am-1+am+1=2am，解得a=1，不合题意；‎ ‎②am为等差中项，则2am=am+1+am+2，‎ 即2am-1=am+1+am，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；‎ ‎③若am+2为等差中项，则2am+2=am+1+am，‎ 即2am+1=am+am-1，化简得：2a2-a-1=0，解得a=；‎ ‎∴k====．‎ 综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个；‎ ‎（3）k=，则an+1=（an+an+2），‎ ‎∴an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，‎ 当n是偶数时，Sn=a1+a2+…+an=（a1+a2）+…+（an-1+an）‎ ‎=（a1+a2）=（a+1）．‎ 当n是奇数时，Sn=a1+（a2+a3）+…+（an-1+an）‎ ‎=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1（a+1）（n≥1），‎ n=1也适合上式，‎ 综上可得，Sn=．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎