2019-2020学年浙江省杭州市七县区高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省杭州市七县区高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省杭州市七县区高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 （ ）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线 ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线的定义进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得：，且=4,‎ 因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及性质，属于基础题型.‎ ‎2．在空间直角坐标系中，与点A（1，2，3）关于平面对称的点的坐标是（ ）‎ A．（1，2，-3） B．（-1，-2，-3）‎ C．（-1，-2，3） D．（1，-2，3）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据空间中对称的点的坐标的求法,代入点坐标可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由空间中任意一点关于平面对称的点为,‎ 可得点关于平面对称的点的坐标是，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中点坐标的计算，空间中对称点的坐标的求法，属于基础题型.‎ ‎3．直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：由圆，可得圆心，半径为，‎ 可得圆心到直线的距离，‎ 故弦长为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.‎ ‎4．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据几何体三视图，得出该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥，求出它的体积即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得: 该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥,‎ 其体积为：，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体体积的计算问题，属于基础题目.‎ ‎5．已知直线和平面内的两条直线，则“”是“且”的（ ）‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】根据线面垂直的判定与性质分别检验命题的充分性与必要性，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由直线和平面内的两条直线，可得：‎ 充分性：因为“”，所以必垂直于平面内的所以直线，所以“且”；‎ 必要性：由“且”，若，则不一定垂直与平面，‎ 综上可得, “”是“且”的充分不必要条件，‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定与性质和充要条件的判断，属于基础题型.‎ ‎6．已知分别为直线与上的两个动点，则线段的长度的最小值为（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】易得直线与平行，当的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由直线与，可得直线与平行，‎ 当的长度为两平行线间的距离时，线段的长度的最小值，‎ 可得与的距离为：，即线段的长度的最小值为1，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.‎ ‎7．如图，在正四面体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取的中点,连接,,可得就是与所成的角, 设,可得,,利用余弦定理可得的值,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:如图: ,‎ 取的中点,连接,,可得就是与所成的角,‎ 设,则,,‎ ‎,‎ 故选: B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成得角的余弦值的求法,注意余弦定理的灵活运用,属于基础题.‎ ‎8．棱长都相等的正三棱柱中，是侧棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为，直线与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念以及各种角的计算，利用三角函数知识求解，进而比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 解：如图：‎ 由题意得：由为正三棱柱，可得,可得，，‎ 可得即为二面角，可得；‎ 在平面中作,交与D点，连接,在中，,‎ 由为正三角形，由大边对大角得原理可得,即与直线所成的角大于，；‎ 易得,即为直线与底面所成的角，其中,故，即，‎ 故可得：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等相关知识，综合性大，属于难题.‎ ‎9．在平面直角坐标系中，是圆上的动点，满足条件的动点构成集合，则集合中任意两点间的距离的最大值为（ ）‎ A．4 B． C．6 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,由求出M得轨迹方程，结合圆得对称性可得集合中任意两点间的距离的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：设，可得，设，由，，‎ 可得，，‎ 化简可得，可得是以为圆心，半径为的圆，由在圆上，由圆的对称性可得，集合中任意两点间的距离最大时，此两点关于原点对称，此时，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求法及圆的性质，属于中档题型.‎ ‎10．已知是椭圆上两个不同点，且满足，则的最大值为（ ）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,设,O为坐标原点，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，为等边三角形，且,可得根据点到直线的距离公式可得的最大值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：已知是椭圆上两个不同点,‎ 可得，设，‎ 设,O为坐标原点，可得，,‎ 可得，且，‎ 可得两点均在圆的圆上，且，‎ 可得为等边三角形，且,‎ 根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，‎ 设的中点为,到直线的距离，‎ 则,‎ 可得的最大值为；‎ 可得，可得的最大值为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离，综合性大，属于难题.‎ 二、填空题 ‎11．双曲线的离心率为_________，渐近线方程为___.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据双曲线的标准方程可得的值，可得离心率和渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线的方程为：，可得，‎ 可得：离心率为，渐近线方程为，‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，离心率及渐近线的求法，相对简单.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，经过三点的圆的标准方程为_____，其半径为_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设圆的标准方程为:,代入各点坐标求出的值,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:设圆的标准方程为:,代入各点坐标可得:‎ ‎,解之可得:,‎ 故圆的标准方程为,半径为,‎ 故答案为: ;.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，需注意运算的准确性.‎ ‎13．已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为，首先截去三棱锥，类似的，再截去另外7个三棱锥，则余下的几何体的表面积为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用正方体的表面积减去所有三棱锥的三个侧面积的表面积再加上三棱锥下底面的面积可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：易得：，所有三棱锥的三个侧面积的表面积，所有三棱锥的底面积，‎ 可得余下的几何体的表面积,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间几何题的表面积计算，相对简单，属于基础题型.‎ ‎14．椭圆的长轴右顶点、短轴上顶点分别为，点M是椭圆上第一象限内的点，O为坐标原点，当四边形AOBM面积最大时，点的坐标是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,可得,代入M点坐标可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解: 由题意,点M是椭圆上第一象限内的点,设,‎ 即:,,,‎ 可得四边形AOBM面积可表示为三角形与三角形之和,‎ 即,‎ 可得当时, 四边形AOBM面积最大,此时的坐标是,‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是椭圆的方程与性质及椭圆参数方程与应用,综合性大,属于中档题.‎ ‎15．过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点， 再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，若，为坐标原点，则=___ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线的性质可得，可得的值，代入可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点， 再过点作线段的垂线，交抛物线的准线于点，可得，,‎ ‎，其中，可得，‎ 可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的性质，由已知得出是解题的关键.‎ ‎16．在矩形中，，点为线段中点，如图3所示，将沿着翻折至（点不在平面内），记线段中点为，若三棱锥体积的最大值为，则线段长度的最大值为___.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,可求出直线到面的最大值, ,设,可得F点到平面的距离为,代入三棱锥体积的计算公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意得:设F点到平面的距离为d,‎ 由线段中点为,可得点到平面的距离为2d,‎ 如图取AB得中点G,连接CG,易得,,得点到平面的距离即为直线到平面的距离,‎ 易得直线到平面的距离小于等于直线到直线的距离,‎ 再中,设,直线到直线的距离为,‎ 可得,可得,,‎ 由三棱锥体积的最大值为,可得,,‎ 可得,可得,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥体积的求法,综合性大,属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知点及圆：.‎ ‎（Ⅰ）若点在圆内部，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求线段的中垂线所在直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入方程,得到关于a的不等式,解之可得答案;‎ ‎（Ⅱ）求出线段的中点的坐标及,可得线段为的中垂线所在直线的斜率,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:（Ⅰ）圆可以化为，‎ 若点P在圆内部，则，‎ 解得：，‎ ‎（Ⅱ）当时，线段的中点的坐标为（），‎ ‎，‎ 故线段为的中垂线所在直线的斜率为-2， ‎ 所求直线方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查点与圆的位置关系,及直线的点斜式方程,属于基础题型.‎ ‎18．已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.‎ ‎（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P的坐标为,由,可得的值,代入抛物线的方程,可得点的坐标;‎ ‎（Ⅱ）利用相关点法,设设，，，可得,由点是抛物线上,代入可得点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 解:（Ⅰ）设点P的坐标为由已知可得，‎ ‎， ‎ 代入抛物线方程得，‎ 所以点的坐标为或 ‎（Ⅱ）设，，，由已知，‎ 得：， ‎ 又因为点是FA的中点得，‎ ‎，， ‎ 点在抛物线上，即，所以点C的轨迹方程 为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】连接，由已知得，，又是的中点，所以,计算可得,由，可得,可得平面;‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，可得OD∥BN, 由CD⊥OD，CD⊥SD，‎ ‎,可得,, OP⊥面SCD, 计算可得OP的值,由可得AB//面SCD, 可得直线所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ 解:（Ⅰ）连接，由已知得，，又是的中点，所以.‎ 再由，所以，由，∴，，故. ‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，由已知OD= OS= ，OD∥BN 根据（1）有CD⊥OD，CD⊥SD，‎ 所以.又 ‎ 作OP⊥SD，则OP⊥面SCD ‎ ‎△SOD中，OD=OS=，SD=3，‎ ‎ ‎ ‎∵，∴AB//面SCD，‎ 点A到平面SCD的距离等于点O到平面SCD的距离 设直线所成角为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定及线面角的求法,属于中档题.‎ ‎20．如图，椭圆的长轴长为4，离心率，右焦点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，点关于原点的对称点为，的重心为点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意求出的值,可得椭圆的标准方程;‎ ‎（Ⅱ）求出焦点，设，，，可得,联立直线与椭圆方程可得关于m得表达式, 可得面积的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解:（Ⅰ）由题意得:,,‎ 故椭圆的标准方程:‎ ‎（Ⅱ）由已知，，设，‎ ‎，，‎ 由题意可知，， ‎ ‎ 由 ，得到，‎ 所以，‎ ‎， ‎ 令，‎ 则，‎ 因为，是增函数，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合问题,综合性大,属于难题.‎