【数学】2018届一轮复习人教A版 排列与组合 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 排列与组合 学案

专题54 排列与组合 ‎1.理解排列、组合的概念；‎ ‎2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；‎ ‎3.能解决简单的实际问题.‎ ‎ ‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．‎ ‎(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1‎ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！.‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C 高频考点一　 排列问题 ‎【例1】 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎(2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.‎ 解析　(1)第一类：甲在最左端，‎ 有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；‎ 第二类：乙在最左端，‎ 有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法.‎ 所以共有120＋96＝216(种)方法.‎ ‎(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法.‎ 答案　(1)B　(2)36‎ ‎【方法规律】(1)第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法.‎ ‎【变式探究】 (1) 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　)‎ A.120 B.240 C.360 D.480‎ ‎(2)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)‎ A.30 B.600 C.720 D.840‎ 高频考点二　组合问题 ‎【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种.‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种.‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种.‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090种.‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ ‎【方法规律】组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.‎ ‎【变式探究】 (1)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)‎ A.90 B.115 C.210 D.385‎ ‎(2)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 高频考点三　排列、组合的综合应用 ‎【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．‎ ‎(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎(2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？‎ 解　(1)把4个不同小球分三组，共C种分法．对每种分法分成的三组再放入4个盒中的3个盒子，共A种放法，‎ 所以总的放法种数为CA＝6×24＝144(种)．‎ ‎(2)确定2个空盒有C种方法．‎ ‎4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法．故共有C(CCA＋·A)＝84(种)．‎ ‎【规律方法】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．‎ ‎【变式探究】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)‎ A．AC B.AC C．AA D．‎2A ‎(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．‎ 解析　(1)法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种)．‎ 所以不同的安排方法有CA(种)．‎ 法二　先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CC＝AC(种)．‎ ‎(2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；‎ 第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，‎ 共有CA种分法．总获奖情况共有A＋CA＝60(种)．‎ 答案　(1)B　(2)60‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.‎ ‎2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）‎ ‎ A．1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以从袋中任取的个球恰好个白球个红球的概率为，故选B．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为( )‎ ‎（A）10 （B）20 （C）30 （D）60‎ ‎【答案】C ‎3.【2015高考四川，理6】用数字0， 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.‎ ‎4、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ 【答案】．‎ ‎【解析】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．‎ ‎5.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：‎ ‎1．（2014·北京卷）把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．‎ ‎【答案】36　【解析】AAA＝6×2×3＝36.‎ ‎2．（2014·广东卷）设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎的元素个数为 (　　)‎ A．60 B．‎90 C．120 D．130‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤‎3”‎考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．‎ 故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，‎ 即满足题意的元素个数为130.‎ ‎3．（ 2014·广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎4．（2014·辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．‎120 C．72 D．24‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC＝24.‎ ‎5．（2014·全国卷）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A．60种 B．70种 ‎ C．75种 D．150种 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．‎ ‎6．（2014·四川卷）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.‎ ‎7．(2014·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A．72 B．‎120 C．144 D．168‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A种；(2)‎ 将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有‎2A种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有CAA种．所以由计数原理可得节目的排法共有A(‎2A＋CAA)＝120(种)．‎ ‎1.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)‎ A.9 B.10 C.18 D.20‎ 解析　由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，‎ ‎∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.‎ 从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18.‎ 答案　C ‎2. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)‎ A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种).‎ 答案　B ‎3.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)‎ A.6 B.18 C.20 D.24‎ 解析　由题意知，名次排列的种数为CA＝18.‎ 答案　B ‎4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(　　)‎ A.CA B.CA C.CA D.CA 解析　首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.‎ 答案　C ‎5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法.依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方案.‎ 答案　B ‎6.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法(　　)‎ A.10 B.16 C.20 D.24‎ 解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法.‎ 答案　C ‎7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ 法二　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).‎ 答案　B ‎8.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)‎ A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 解析　一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种).‎ ‎∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36(种).‎ 答案　C ‎9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).‎ 解析　先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种).‎ 答案　20‎ ‎10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种(用数字作答).‎ 解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种).‎ 答案　11‎ ‎11.从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).‎ 解析　甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有CC＋CC＝70种方法.‎ 答案　70‎ ‎12.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).‎