2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合,,则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集运算直接求解即可 ‎【详解】‎ 由题 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算，准确计算是关键，是基础题 ‎2．设，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.‎ 详解：‎ ‎，‎ 则，故选c.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．下列函数中，在内单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，在R上递减，所以在内单调递减，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，所以 命题“，”的否定是，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎5．方程的解所在的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合零点存在定理确定方程的解所在的区间即可.‎ ‎【详解】‎ 方程的解所在的区间即函数的零点所在的区间，‎ 由于：，，‎ ‎，，，‎ 结合函数零点存在定理可得函数零点所在区间为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎=，x=2代入得a的方程求解即可 ‎【详解】‎ ‎=,解a=4‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题 ‎7．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的分别为14，18，则输出的为 A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行程序框图，可得 a＝14，b＝18‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2‎ 不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构程序框图，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎8．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为yx，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设AB的中点为M，‎ 圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），‎ 直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，‎ 则直线OM的方程为yx，‎ M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A．32 B． C． D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，‎ 所以该四棱锥的体积为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎10．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于点 ‎，与抛物线的准线相交于点，若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出A的纵坐标，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设A的纵坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m，‎ ‎∴|FA|，|FB|＝6，‎ ‎∴|FA||FB|，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎11．函数的图像大致为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎12．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵为定义在上的奇函数，‎ ‎∴也为定义在上的奇函数，‎ ‎∵对任意的时，当时，‎ ‎∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 由可得 即 ‎∴，即 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 为焦点 ‎ 在双曲线上，则 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.‎ ‎14．已知函数的最小正周期为，若,则=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的解析式，再由得平方即可求解 ‎【详解】‎ 由题，故,,得, 则= ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式求法，两角和的正弦及二倍角公式，考查同角三角函数基本关系，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎15．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎（1）在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎16．正方体的棱长为，分别是的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG∥平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积 ‎【详解】‎ 取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，‎ ‎∵MG∥EF，NG∥EP，MG∩NG＝G，EF∩EP＝E，‎ ‎∴平面MNG∥平面PEFH，‎ ‎∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，‎ ‎∵PE＝2，EF，四边形PEFH是矩形，‎ ‎∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：‎ S矩形PEFH＝2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．的内角对边分别为,已知 ,的面积为2，‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数基本关系求sinB，再由面积公式得ac=（2）由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，结合 a+c的值即可求出b的值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵cosB，B为三角形的内角，‎ ‎∴sinB，又S=2得ac=‎ ‎（2）∵a+c＝6，ac=，cosB，‎ ‎∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac＝4，‎ 得：b=2‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18．已知是等差数列，是等比数列,且.‎ ‎(1) 求的通项公式；‎ ‎(2) 设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项公式；（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解 试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比,‎ 所以，‎ 设等差数列的公差为，因为，,‎ 所以，即，‎ 因此 ‎（II）由（I）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎ ‎ ‎．‎ 考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和 ‎19．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，, AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点 . ‎ ‎（1）求证：CD⊥平面BDM；‎ ‎（2）求平面B1BD与平面CBD所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先以CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，然后分别确定点B、M、D的坐标，利用向量法证明CD⊥平面BDM．（2）求出平面BDC的法向量和平面B1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1BD与平面CBD所成锐二面角余弦值．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）由题意知AC、BC、CC1两两垂直，‎ 则以CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵CB，CC1＝AA1＝1，CA＝1，M为B1C1的中点．‎ ‎∴B（，0，0），M（，1，0），‎ 又∵点D是矩形AA1B1B的两条对角线的交点，‎ ‎∴D（，，），‎ 则（），（，1，0），（，），‎ ‎∴•，0，‎ ‎∴CD⊥BM，CD⊥BD，‎ 又BM∩BD＝B，∴CD⊥平面BDM．‎ ‎（2）由（1）‎ ‎（），（），‎ 设平面BDC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（0，1，﹣1），‎ B1（，1，0），（，），（0，1，0），‎ 设平面B1BD的法向量（a，b，c），‎ 则，取a＝1，得（1，0，），‎ 设平面B1BD与平面CBD所成锐二面角为θ，‎ 则cosθ．‎ ‎∴平面B1BD与平面CBD所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)6‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 并去 除点，从而轨迹的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有则，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，有，函数在上单调递增，‎ 有，故，即四边形面积的最大值为.‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）若函数在处的切线与垂直，求的值；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）=1（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）得解a即可；（2），不等式证明转化为判断函数单调性得最小值即可证明 ‎【详解】‎ ‎（1），由题，∴a=1‎ ‎（2）.函数的定义域为，令，则 所以当时，，当时，,‎ 所以的最小值为，‎ 当时，，所以，‎ 所以成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查切线方程，导数与函数的最值，考查转化化归能力，是中档题 ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α 与C1，C2 各有一个交点．当 α＝0时，这两个交点间的距离为2，当 α＝时，这两个交点重合．‎ ‎(1) 求曲线C1，C2的直角坐标方程 ‎(2) 设当 α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当 α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ ‎【答案】（1）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令α＝0和α＝得a,b 值由参数方程与普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的横坐标，利用对称性得A1，B1关于x轴对称，得四边形A1A2B2B1为等腰梯形，利用面积公式求解即可 ‎【详解】‎ 由题C1 的普通方程为x2＋y2＝1；C2的普通方程为 当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.‎ 当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.‎ 故C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，‎ ‎（2）当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.‎ 当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．‎ 故四边形A1A2B2B1的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用，直线与椭圆的交点问题，转化化归能力，是中档题 ‎23．已知函数.‎ ‎(1) 若不等式的解集为,求实数的值；‎ ‎(2) 在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）将原不等式转化为，利用绝对值不等式的解法求得的范围，对比题目所给已知条件，可求得的值.（II）利用零点分段法将函数表示成分段函数的形式，由此求得的最小值，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由，得 ‎ 则，即 故得。‎ ‎（II）由（1）得， ‎ 令 则 所以，若对一切实数恒成立，实数的取值范围是。‎ 解法二 由（1）得， ‎ ‎ =4 ‎ ‎∴，∴, ‎ 所以，若对一切实数恒成立，实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查含有两个绝对值问题的求解策略，即零点分段法.属于中档题.‎