江西省上饶市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

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江西省上饶市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

www.ks5u.com 上饶市2018- 2019学年度下学期期末教学质量测试 高二数学(理科)试题卷 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.‎ ‎1.复数,则=( )‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算,先化简复数,再由复数模的计算公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查复数的除法,以及复数的模,熟记公式即可,属于基础题型.‎ ‎2.已知命题,则命题的否定为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题,即可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为命题,‎ 所以命题的否定为:‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定,只需改写量词与结论即可,属于常考题型.‎ ‎3.空间直角坐标系中,点关于点的对称点的坐标是 A. (-10,2,8) B. (-10,2,-8) C. (5,2,-8) D. (-10,3,-8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】设点关于点的对称点的坐标是,‎ 根据中点坐标公式可得,解得,‎ 所以点关于点的对称点的坐标是(-10,2,-8),故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查中点坐标公式应用,意在考查对基本公式的掌握与应用,属于基础题.‎ ‎4.函数在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数,利用导数的几何意义求出切线斜率,进行求解即可.‎ ‎【详解】函数的导数,‎ 则函数在点处的切线斜率,‎ 因为,‎ 所以切点坐标为为,‎ 则切线方程为,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.‎ ‎5. △ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC周长为18,则C点轨迹为( )‎ A. (y≠0) B. (y≠0)‎ C. (y≠0) D. (y≠0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由坐标可知,由周长可知,由椭圆的定义可知,点在焦点为,半长轴为的椭圆上运动,由焦点以及半长轴可求得半短轴,则椭圆方程为,当点在横轴上时,点共线,不能构成三角形,所以,所以点的轨迹方程为(),故正确选项为A.‎ 考点:椭圆的概念.‎ ‎【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念:到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹.有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标,但是,要注意一点,题中要求三点构成三角形,也就是说这三点是不能共线的,即点不能在横轴上,所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点.‎ ‎6.计算:( )‎ A. ﹣1 B. 1 C. ﹣8 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理,可直接求出结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查定积分,熟记微积分基本定理即可,属于常考题型.‎ ‎7.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=(  )‎ A. 192 B. 202 C. 212 D. 222‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵所给等式左边的底数依次分别为1,2;1,2,3;1,2,3,4; 右边的底数依次分别为3,6,10,(注意:这里,), ∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6, 右边的底数为,又左边为立方和,右边为平方的形式, 故有,故选C.‎ 点睛:本题考查了,所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它与演绎推理的思维进程不同.归纳推理的思维进程是从个别到一般,而演绎推理的思维进程不是从个别到一般,是一个必然地得出的思维进程.解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律.观察前几个式子的变化规律,发现每一个等式左边为立方和,右边为平方的形式,且左边的底数在增加,右边的底数也在增加.从中找规律性即可.‎ ‎8.已知点是抛物线的焦点,点为抛物线上的任意一点,为平面上点,则 的最小值为( )‎ A. 3 B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作垂直准线于点,根据抛物线的定义,得到,当三点共线时,的值最小,进而可得出结果.‎ ‎【详解】如图,作垂直准线于点,由题意可得,‎ 显然,当三点共线时,的值最小;‎ 因,,准线,‎ 所以当三点共线时,,所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题,熟记抛物线的定义与性质即可,属于常考题型.‎ ‎9.若函数在处取得极小值,则的最小值为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导,根据题意,得到,再用导数的方法研究函数单调性,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 又函数在处取得极小值,‎ 所以,所以,‎ 因此,‎ 由得;由得,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增;‎ 所以;‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查导数的应用,根据导数的方法研究函数的单调性,最值等,属于常考题型.‎ ‎10.在三棱锥中,,,面,,,分别为,,的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知,以B为原点,BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量坐标法求角即可.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴,‎ 以B为原点,BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎∴,‎ 设,则,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得 ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为 故选:B ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题,也考查了推理论证能力和运算求解能力,是中档题.‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设直线与圆相切于点,根据题意,得到,再由,根据勾股定理求出,从而可得渐近线方程.‎ ‎【详解】设直线与圆相切于点,‎ 因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形,所以,‎ 又因为圆与直线的切点为,所以,‎ 又,所以,‎ 因此,‎ 因此有,‎ 所以,因此渐近线的方程为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.‎ ‎12.已知函数,,其中为自然对数底数,若存在实数使得,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导,用导数的方法求最小值,再由基本不等式求出的最小值,结合题中条件,列出方程,即可求出结果.‎ ‎【详解】由得,‎ 由得;由得;‎ 因此,函数在上单调递减;在上单调递增;‎ 所以;‎ 又,‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 故(当且仅当与同时取最小值时,等号成立)‎ 因为存在实数使得,‎ 所以,解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查导数的应用,以及由基本不等式求最小值,熟记利用导数求函数最值的方法,以及熟记基本不等式即可,属于常考题型.‎ 二、填空题:本大题共4小题,共20分。‎ ‎13.函数 的最大值为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数解析式写出分段函数形式,根据函数单调性,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为;‎ 易得:当且仅当时,取最大值1.‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的最值问题,根据函数单调性求解即可,属于常考题型.‎ ‎14.函数的单调递增区间是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,所以单调递增区间是 考点:导数应用 ‎15.如图,在直三棱柱中,,,点,,分别是棱,,的中点,点是棱上的点.若,则线段的长度为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,以点为坐标原点,以分别为轴,轴,轴正方向,建立空间直角坐标系,设出点坐标,根据题意,列出方程,求出点坐标,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为在直三棱柱中,,‎ 因此,以点为坐标原点,以分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,因为,点,,分别是棱,,的中点,所以,,,则,‎ 又点是棱上的点,所以设,‎ 则,‎ 因为,所以,因此.‎ 所以,因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查空间中两点间的距离,灵活运用空间向量法求解即可,属于常考题型.‎ ‎16.已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点,是坐标原点,且满足,,则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到直线的斜率存在,不妨设直线的斜率,过点作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,过点作于点,根据题中条件求出抛物线方程,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理与题中条件,求出交点横坐标,再由弦长公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意,易知直线的斜率存在,则由抛物线的对称性,不妨设直线的斜率,‎ 过点作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,过点作于点,‎ 则由,可得,即,则,‎ 所以点为的中点,则,‎ 所以,‎ 则,‎ 解得,则直线的方程为,‎ 由得,‎ 则,‎ 由,得,即,‎ 结合,解得,则.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长问题,熟记抛物线的性质,以及直线与抛物线位置关系即可,属于常考题型.‎ 三、解答题,共70分.‎ ‎17.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,,求.‎ ‎【答案】(1)x+y-1=0, ; (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由直线参数方程,消去参数,即可得到普通方程;根据极坐标与直角坐标的转化公式,可将化为直角坐标方程;‎ ‎(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,再设两点对应的参数为,根据韦达定理,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)直线的普通方程为 由,得, ‎ 则,故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将,代人,得, ‎ 设两点对应的参数为,‎ 则,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,以及极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.‎ ‎18.设函数.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到,分,,三种情况讨论,即可得出结果;‎ ‎(2)先由关于的不等式恒成立,得到恒成立,结合绝对值不等式的性质,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)当时,即为,‎ 当时,,解得;‎ 当时,,可得;‎ 当时,,解得,‎ 综上,原不等式的解集为;‎ ‎(2)关于的不等式恒成立,‎ 即为恒成立,‎ 由,‎ 可得,‎ 解得:或.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式,通常需要用到分类讨论的思想,灵活运用分类讨论的思想处理,熟记绝对值不等式的性质即可,属于常考题型.‎ ‎19.若函数,当时,函数有极值为.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若有个解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,利用函数在某个点取得极值的条件,得到方程组,求得的值,从而得到函数的解析式;(2)利用函数的单调性以及极值,通过有三个不等的实数解,求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ 由时,函数有极值,‎ 得,即,解得 所以;‎ ‎(2)由(1)知,‎ 所以,‎ 所以函数在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,‎ 当时,有极大值;‎ 当时,有极小值,‎ 因为关于的方程有三个不等实根,‎ 所以函数的图象与直线有三个交点,‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0,利用条件求函数解析式,利用导数研究函数的单调性与极值,将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决,属于中档题目.‎ ‎20.在四棱锥中,底面为菱形, ,侧面为等腰直角三角形,,点为棱的中点.‎ ‎(1)求证:面面;‎ ‎(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据线面垂直的判定定理,先证明面,再由面面垂直的判定定理,即可证明结论成立;‎ ‎(2)先由题中数据,得到;再以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量与平面的法向量,求出两向量夹角的余弦值,进而可得出结果.‎ ‎【详解】(1)证明:∵,为棱的中点,∴,‎ 又∵为菱形且,∴,‎ ‎∵,∴面,‎ ‎∵面,∴面面;‎ ‎(2)解:∵,,∴,,‎ 又,∴,则.‎ 以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,‎ ‎,,.‎ 设平面的一个法向量为.‎ 由,取,得.‎ 设直线与平面所成角为.‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查证明面面垂直,以及求线面角的正弦值,熟记线面垂直、面面垂直的判定定理,以及空间向量的方法求线面角即可,属于常考题型.‎ ‎21.已知椭圆E:的离心率为分别是它的左、右焦点,.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB,AC,两直线分别与椭圆交于B,C两点,当时,直线BC是否过定点?若是求出该定点,若不是请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意,,结合的关系即可求解。‎ ‎(2)设直线,,,联立方程可得,又,结合韦达定理可得,化简计算即可求解。‎ ‎【详解】(1)因为,所以,又,所以,‎ 椭圆的方程为;‎ ‎(2)因为,所以直线斜率存在 设直线,,‎ 消理得 ‎,(*)‎ 又理得 即 所以(*)代入得 整理的得,所以直线定点 ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,直线恒过定点问题,意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平,属中档题。‎ ‎22.已知函数,,‎ ‎(1)当时,求函数的最小值.‎ ‎(2)当时,对于两个不相等的实数,,有,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由得,对函数求导,用导数的方法研究其单调性,即可求出最值;‎ ‎(2)先由,得到,对函数求导,得到其单调区间,再设,令,用导数的方法研究函数的单调性,进而可证明结论成立.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎∴,由得;由得;‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴.‎ ‎(2)当时,,‎ 对于两个不相等的实数,,有,‎ ‎∵,‎ 由得;由得;‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,‎ 不妨设,‎ 令,‎ ‎∴,‎ 当时,,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴在单调递减,‎ ‎∴,即,‎ 因为,则,‎ 由以上可知,‎ ‎∵在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴,‎ 又,,在上单调递减,‎ 所以,‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用,用导数的方法研究函数的单调性,最值等,属于常考题型.‎ ‎ ‎
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