2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次月考数学（重点、平行班）试题

2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次月考数学（重点、平行班）试题

‎2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第一次月考 数学试题（理科重点平行）‎ 总分：150分 时间：120分钟 命题人：南宏波 审题人：谈荣江 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.“若，则”的逆否命题是(　　 ) ‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎2. 设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的(　 )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知，命题，则（　　）‎ ‎ A．是假命题，‎ ‎ B．是假命题，‎ ‎ C．是真命题，‎ ‎ D．是真命题，‎ ‎4.若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（　　）‎ ‎ A．72° B．90° C．108° D．180°‎ ‎5.已知向量，，且∥，则实数的值等于（　　）‎ A． B．-2 C．0 D. 或-2‎ ‎6.已知非零向量，不共线，如果，，，则四点（　　）‎ A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．肯定不共面 ‎7.已知，则最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（　　）‎ A． B．7 C． D．9‎ ‎9.如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎10.若顶点的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程为( )‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把答案填在答题纸的相应空格中）‎ ‎13. 已知实数4，，9构成一个等比数列，则椭圆的焦距为　 ‎ ‎14. 设有两个命题，：关于的不等式的解集是；‎ 函数的定义域为．如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是　 　．‎ ‎15.如图，空间四边形中，分别是对边的中点，点在线段上，分所成的定比为2，，则的值分别为　 　．‎ ‎16.如图，在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率是　 　．‎ ‎17. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎(1)如果，那么.‎ ‎(2)如果，那么.‎ ‎(3)如果，那么.‎ ‎(4)如果，那么与所成的角和与所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共65分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答）‎ ‎18.（12分）已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立。‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，若为假，为真，求的取值范围．‎ ‎19. （12分）如图，三棱锥中，平面 ‎，，。分别为线段 上的点，且。 . ‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值。‎ ‎20. （12分）已知椭圆的两个焦点是，，且椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求线段的长。‎ ‎21. （14分）如图：等边三角形所在的平面与所在的平面互相垂直，分别为边中点．已知，，‎ ‎。‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎22. （14分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线，交椭圆于两点，点在椭圆上，坐标原点恰为的重心，求直线的方程．‎ 长安一中高2016级（高二阶段）第一学期第第一次月考 数学试题答案（理科重点平行）‎ 一、选择题： C A C B B C D C D B A A 二、填空题 ‎13. 14. 15. ‎ ‎16. 17. （2）、（4 ）‎ 三、解答题： ‎ ‎18.（12分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．‎ ‎（1）若p为真命题，求m 的取值范围；‎ ‎（2）当a=1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．‎ 解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m 恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．‎ ‎（2）a=1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax 成立．∴m≤1．‎ ‎∵p且q为假，p或q为真，‎ ‎∴p与q必然一真一假，‎ ‎∴或，‎ 解得1＜m≤2或m＜1．‎ ‎∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．‎ ‎19. （12分）如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面 ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，‎ 且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2 . ‎ ‎(1)证明：DE⊥平面PCD；‎ ‎(2)求二面角A-PD-C的余弦值 ‎（1）由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE，CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.‎ 由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线， ‎ 故DE⊥平面PCD. ‎ ‎（2）由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过D作DF垂直CE于F， ‎ 易知DF＝FC＝FE＝1， ‎ 又已知EB＝1， ‎ 故FB＝2. ‎ ‎∠ACB＝得DF∥AC，＝＝，‎ 故AC＝DF＝.以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝.设平面PAD的法向量为n 1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得 故可取n1＝(2,1,1). ‎ 由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1,0).‎ 从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为 ‎ cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 所求二面角A-PD-C的余弦值为.‎ ‎20. （12分）已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长 解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a＞b＞0），‎ 由题意可知，∴a=3，b=．‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1．‎ ‎（2）直线l的方程为y=x+2，‎ 联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ ‎∴|PQ|=|x1﹣x2|===．‎ ‎21. （14分）如图：等边三角形PAB所在的平面与Rt△ABC所在的平面互相垂直，D、E分别为AB、AC边中点．已知AB⊥BC，AB=2，BC=2‎ ‎（Ⅰ）证明：DE∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）证明：AB⊥PE；‎ ‎（Ⅲ）求点D到平面PBE的距离．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵D、E分别为AB、AC边中点，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴DE∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）证明：连接PD，则 ‎∵AB⊥BC，DE∥BC，‎ ‎∴AB⊥DE，‎ ‎∵等边三角形PAB，D为AB的中点，‎ ‎∴PD⊥AB，‎ ‎∵PD∩DE=D，‎ ‎∴AB⊥平面PDE，‎ ‎∵PE⊂平面PDE，‎ ‎∴AB⊥PE；‎ ‎（Ⅲ）解：∵平面PAB⊥平面ABC，PD⊥AB，‎ ‎∴PD⊥平面ABC，‎ ‎∵D为AB中点，AB=2，‎ ‎∴PD=，‎ ‎∴VP﹣ABC==2，‎ ‎∵E是AC的中点，‎ ‎∴S△ABE=，‎ ‎∴S△BDE=，‎ ‎∴VP﹣BCE=VP﹣ABC=，‎ ‎∵BE==2，∴PE==，‎ ‎∵B到PE的距离为=，‎ ‎∴S△BPE==，‎ 设点D到平面PBE的距离为h，则=，∴h=．‎ 法二：空间向量法 ‎22. （14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，左焦点F1（﹣2，0），|PF|=，‎ 所以|PF1|==，即2a=|PF|+|PF1|=2，‎ 即a2=6，b2=a2﹣c2=2，‎ 故椭圆C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）显然直线l与x轴不垂直，‎ 设l：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 将l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，‎ 可得x1+x2=，‎ 所以AB的中点N （，），‎ 由坐标原点O恰为△ABM的重心，可得M （，）．‎ 由点M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，‎ 解得k2=或﹣（舍），即k=±．‎ 故直线l的方程为y=±（x﹣2）．‎