江西省赣州石城中学2020届高三下学期第三次周考数学（文）
数学（文)试题
分值：150 分 考试时间：120 分钟
本次命题范围：高考范围 下次命题范围：高考范围
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n>x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得 n>x20 D．∃x0∈R，∀n∈N*，使
得 n>x20
2．若复数 z＝ 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
3．执行如图程序语句，输入 a＝2cos2 019π
3 ，b＝2tan2 019π
4 ，则输出 y
的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．－1
4.某校初三年级有 400 名学生，随机抽查了 40 名学生测试 1 分钟仰卧起坐的成绩(单位：
次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的
是( )
A．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 25
B．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 24
C．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约有 80
D．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为 8
5.在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1
3，则 sin A＝（ ）.
A. B. C. D.
6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于2
3的概率为( )
A.8
9 B.7
9 C.4
9 D.1
9
7. 设 函 数 在 内 有 定 义 ， 对 于 给 定 的 正 数 ， 定 义 函 数
INPUT a，b
IF a
≤=
kxfk
kxfxfxf k )(,
,)(),()(
xxf −= 2)( K 2
1 )(xf k
( )0,∞− )∞ ( )1,−∞− )∞
ABC∆ BAC∠
25
144=→•→ AEAD 7
48=→•→ AEAB BCAB •
16− 16 18− 19−
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 1 1A B C 11 == CCBC
23=AC P 1BC PAC1 BCC1
1PACP +
52 1 3 2+ 1 2 5+
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > y x=
C P Q 1 2PFQF
2 2+ 2 2+ 2 6+ 2 6+
)0,2(−=OB )0,2(=OC ),sin,(cos θθ=CA
OBOA,cos
1,4
15
− 1,2
3
−
5
52,1
−−
2
3,1
x ( ) ( )' 2 xf x f x e− = ( )0 1f = − ( ) ( )1f x k x> − 1>x
k
( )1 + ∞， )4,( 2
3
e−∞
1
21 4e
，
3
21 4e
，
( ) ( )2sinf x xω ϕ= + (0 )2
πϕ< < y ( )0,1
之间的最小距离为 ,则使 成立的 的最小值为 .
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高
十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为 90 尺，
米堆的高为 12 尺．圆周率约为 3.若将此堆米用草席盖上，则此草席
的面积至少约为(计算结果保留整数，如 544≈23， 550≈23)
平方尺。
16．给出下列命题：
（1）若函数 在（1，+ ）上是减函数，
则 ；
(2)直线 与线段 相交，其中 A（1，1），B（4，2）,则 的取值范围是
；
（3）点 （1，0）关于直线 的对称点为 ，则 的坐标为（ ；
（4）直线 与抛物线 交于 A,B 两点，则以 AB 为直径的圆恰好与直线
相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.第 17 题至 21 题为必答题，,第 22 题第 23 题为选答题.
(一)必答题（每题 12 分，共 60 分）
17．已知首项为 2 的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝n＋1
an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
18．如图 1，在平面五边形 ABCDE 中，AB∥CE，且 AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝ 7，
cos∠EDC＝5
7.将△CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP＝ 3，得到如图 2 所示的
四棱锥 PABCE.
(1)求证：AP⊥平面 ABCE；
(2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：AB∥l.
19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘
车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开
始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x
表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
2
π ( ) ( ) 0f x t f x t+ − − + = t
2ln2
1)( 2 ++−= xmxxf ∞
1x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n>x2
C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得 n>x20 D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得 n>x20
解析：选 D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2 的否定是 n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0
∈R，∀n∈N*，使得 n>x20”．
2．若复数 z＝ 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．0 C．－ D．－1
【详解】设 z＝bi，b∈R 且 b≠0，则 ＝bi，得到 1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且 1＝b，解得 a＝－1.
故选：D.
3．执行如图程序语句，输入 a＝2cos2 019π
3 ，b＝2tan2 019π
4 ，则输出 y 的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．－1
[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算 y＝Error!且 a ＝
2cos2 019π
3 ＝2cos π＝－2，b＝2tan2 019π
4 ＝2tan 3π
4 ＝－2.
因为 a≥b，所以 y＝a2－b＝(－2)2－(－2)＝6，
即输出 y 的值是 6.
[答案] C
4. 某校初三年级有 400 名学生，随机抽查了 40 名学生测试 1 分钟
仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频
率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 25
B．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 24
C．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 的人数约有 80
D．该校初三学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 的人数约为 8
[解析] 第一组数据的频率为 0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为 0.06×5＝0.3，第三组数
据的频率为 0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为 25＋x，则 x×0.08＝0.5－0.1－
INPUT a，b
IF a
≤=
kxfk
kxfxfxf k )(,
,)(),()(
xxf −= 2)( K 2
1 )(xf k
( )0,∞− )∞ ( )1,−∞− )∞
答案：C
8. 在 中 ， 已 知 AD 为 BC 边 上 的 高 ， AE 为 的 平 分 线 ， AB=4,
, 则 =(
)
A. . B. . C. D.
答案：A
9．如图，在三棱柱 中， 底面 ，∠ACB=90°， ,
, 为 上的动点，将平面 进行翻转，使之与平面 在同一平面上，
则 的最小值为( )
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】
易得 平面 ，故∠ .将二面角 沿
展开成平面图形，此时 的长度即 的最小值，利用余弦
ABC∆ BAC∠
25
144=→•→ AEAD 7
48=→•→ AEAB BCAB •
16− 16 18− 19−
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1 1 1A B C 11 == CCBC
23=AC P 1BC PAC1 BCC1
1PACP +
52 1 3 2+ 1 2 5+
1 1AC ⊥ 1 1BCC B 1 1AC B 90= 1 1A BC C− −
1BC 1AC 1CP PA+
定理求出这个最小值.
【详解】由题设知△ 为等腰直角三角形，又 平面 ，故∠ =90°，
将二面角 沿 展开成平面图形，得四边形 如图示，由此，
要取得最小值，当且仅当 三点共线，由题设知∠ ,由余弦定理得
.
10.已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若直线 与双曲
线 交于 ， 两点，且四边形 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，选 B．
11.( 错 题 再 现 ) 已 知 向 量 ， ， 则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：选 D
1CC B 1 1AC ⊥ 1 1BCC B 1 1AC B
1 1A BC C− − 1BC 1 1AC CB 1CP PA+
1C P A、 、 1 135CC A =
( )22
1 3 2 1 2 3 2 cos135AC = + − × ×
25= 1 5AC⇒ =
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > y x=
C P Q 1 2PFQF
2 2+ 2 2+ 2 6+ 2 6+
4 2 24 2 0 2 2,(2 2 1, ) 2 2e e e e− + = ∴ = + − < ∴ = +舍
)0,2(−=OB )0,2(=OC ),sin,(cos θθ=CA
OBOA,cos
1,4
15
− 1,2
3
−
5
52,1
−−
2
3,1
12. 已知对任意实数 都有 ， ，若 在
上恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设 ， ，
，即 ，
， ，
不等式
当 时， ，即 ，
设 ， ，
当 时， ， 单调递减， 当 时， ，
单调递增，
当 时，函数取得最小值， ，
当 时， ，
故选：B
x ( ) ( )' 2 xf x f x e− = ( )0 1f = − ( ) ( )1f x k x> − 1>x
k
( )1 + ∞， )4,( 2
3
e−∞
1
21 4e
，
3
21 4e
，
( ) ( )
x
f xF x e
= ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
x x
xx
f x e f x e f x f xF x ee
′ ′− −′ = = =
( ) 2F x x c∴ = + ( ) ( ) ( )2 2x
x
f x x c f x e x ce
= + ⇒ = +
( )0 1f c= = − ( ) ( )2 1xf x e x∴ = −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1xf x k x e x k x> − ⇒ − > −
1x > ( )2 1
1
xe xk x
−< −
( )
min
2 1
1
xe xk x
−< −
( ) ( )2 1
1
xe xg x x
−= −
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
2 3 2 3
1 1
x
x x x eg x e x x
x x
−′ = ⋅ = ⋅ −
− − 1x >
31, 2x ∈
( ) 0g x′ < ( )g x 3 ,2x ∈ +∞
( ) 0g x′ >
( )g x
∴ 3
2x =
3
23 42g e =
∴ 1x > 3
24k e<
【点睛】
本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，
并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，
， ，
，
二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.
13．（错题再现）在数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0 上，
则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0 上，所以 4an－an＋1＋1＝0，即 an＋1＝
4an＋1，得 an＋1＋1
3＝4(an＋1
3)，所以{an＋1
3}是首项为 a1＋1
3＝10
3 ，公比为 4 的等比数列，
所以 an＋1
3＝10
3 ·4n－1，故 an＝10
3 ·4n－1－1
3.
答案：an＝10
3 ·4n－1－1
3
14. 已知函数 与 轴的交点为 ,且图象上两对称轴
之间的最小距离为 ,则使 成立的 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意：函数 f（x）与 y 轴的交点为（0,1）,可得：1=2sinφ,sinφ= ,
∵0＜φ＜ ,∴φ= ,
两对称轴之间的最小距离为 可得周期 T=π,解得：ω=2．所以：f（x）=2sin（2x+ ）,
由 f（x+t）﹣f（﹣x+t）=0,可得：函数图象关于 x=t 对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的
最小值,
∵f（x）=2sin（2x+ ）的对称轴方程为：2x+ = （k∈Z）,可得：x= 时最小.
15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角
堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其
( )( ) ( ) ( )xf x f x xf x′ ′= + ( ) ( ) ( )
2
f x xf x f x
x x
′ ′ − =
( )( ) ( ) ( )2 22x f x xf x x f x′ ′= +
( )( ) ( ) ( )( )x xe f x e f x f x′ ′= + ( ) ( ) ( )
x x
f x f x f x
e e
′ ′ − =
( ) ( )2sinf x xω ϕ= + (0 )2
πϕ< < y ( )0,1
2
π ( ) ( ) 0f x t f x t+ − − + = t
6
π
1
2
2
π
6
π
2
π
6
π
6
π
6
π
2 k
π π+
6
π
三视图如图所示)，米堆底部的弧长为 90 尺，米堆的高为 12 尺．圆周率约为 3.若将此堆米用
草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如 544≈23， 550≈23)
平方尺。
解：1035 平方尺
16．给出下列命题：
（1）若函数 在（1，+ ）上是减函数，则 ；
(2)直线 与线段 相交，其中 A（1，1），B（4，2）,则 的取值范围是
；
（3）点 （1，0）关于直线 的对称点为 ，则 的坐标为（ ；
（4）直线 与抛物线 交于 A,B 两点，则以 AB 为直径的圆恰好与直线
相切。其中正确的命题有 。（把所有正确的命题的序号都填上）
答案：(3)、(4)
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.第 17 题至 21 题为必答题，,第 22 题第 23 题为选答题.
2ln2
1)( 2 ++−= xmxxf ∞ 10，
所以函数 h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，
所以 h(x)min＝h(－a)，
又因为 h(－a)1，………………………………………………………………..4 分
即 α∈(π
2，3π
4 )或 α∈(π
4，π
2 ).
综上，α 的取值范围是(π
4，3π
4 )………………………………………………………5 分
(2)l 的参数方程为Error!(t为参数，π
4 < α < 3π
4 )………………………..6 分
设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，
则 tP＝tA＋tB
2 ，且 tA，tB 满足 t2－2 2tsin α＋1＝0…………………………………7 分
于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α…………………………………………………...8 分
又点 P 的坐标(x，y)满足Error!…………………………………..9 分
所以点 P 的轨迹的参数方程是Error!(α为参数，π
4 < α < 3π
4 )………10 分
23．(2019·长春质检)已知函数 f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.
(1)求 f(x)<2 的解集；
(2)若 f(x)的最小值为 T，正数 a，b 满足 a＋b＝1
2，求证： a＋ b≤T.
解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝Error!.........................2 分
作出函数 f(x)的图象如图所示．………………………………………………………4 分
由图象可知，f(x)<2 的解集为(7
5，11
5 )………………………………………………..6 分
(2)证明：由图象可知 f(x)的最小值为 1，…………………………………………….8 分
由基本不等式可知 a＋ b
2 ≤ a＋b
2 ＝ 1
4＝1
2，…………………………………9 分
当且仅当 a＝b 时，“＝”成立，即 a＋ b≤1＝T………………………………..10 分