2018-2019学年福建省三明市第一中学高二下学期学段考试（期中）数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省三明市第一中学高二下学期学段考试（期中）数学（文）试题（解析版）

2018-2019 学年福建省三明市第一中学高二下学期学段考试 （期中）数学（文）试题 一、单选题 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于 A, ,定义域不相同，不是同一个函数；对于 B, 定义域不相同，不是同一个函数；对于 C, 定义域不相同，不是同一个函数；对于 D, ,定义域、值域、对应关系都相同，是同一函数，故选 D. 2．有一段演绎推理：“对数函数 是增函数，已知 是对数函数，所 以 是增函数”，显然该结论是错误的，这是因为（ ） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提和小前 提都错误 【答案】A 【解析】根据演绎推理的结构特点可判断出该推理大前提错误. 【详解】 因为 不一定是增函数（当 时是减函数，当 时才是增函数），故 演绎推理的大前提是错误的，故选 A. 【点睛】 为了保证演绎推理得到的结论是正确的，则需大前提正确，小前提需蕴含再大前提中， 这样得到的结论才是正确的. 3．在平面直角坐标系中，直线 经过伸缩变换 后的直线方程为 ln( ) , ( )xf x e g x x= = 2 4( ) , ( ) 22 xf x g x xx −= = −+ sin 2( ) , ( ) sin2cos xf x g x xx = = 2( ) | |, ( )f x x g x x= = ( ) ( )ln ,xf x e g x x= = ( ) ( )2 4 , 22 xf x g x xx −= = −+ ( ) ( )sin2 , sin2cos xf x g x xx = = ( ) ( ) 2,f x x g x x x= = = logay x= 0.5logy x= 0.5logy x= logay x= 10 << a 1a > 3 2 2 0x y− − = 1 3 2 x x y y  =  = ′  ′ （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由伸缩变换 可得：x，y，代入直线 3x﹣2y-2=0 即可得出． 【详解】 由伸缩变换 可得： ， 代入直线 3x﹣2y-2=0 可得：9x′﹣2× y′-2=0，即 9x'﹣y'-2=0． 故选：D． 【点睛】 本题考查了坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．已知实数 满足 且 ，则下列选项中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设条件可以得到 ，从而可判断 A，B 中的不等式都是正确的， 再把题设变形后可得 ，从而 C 中的不等式也是成立的，当 ，D 中的 不等式不成立，而 时，它又是成立的，故可得正确选项. 【详解】 因为 且 ，故 ，所以 ，故 A 正确； 又 ，故 ，故 B 正确； 而 ，故 ，故 C 正确； 当 时， ，当 时，有 ，故 不一定成立， 综上，选 D. 【点睛】 本题考查不等式的性质，属于基础题. 024 =−− yx 2 0x y− − = 9 4 2 0x y− − = 9 2 0x y− − = 1 3 2 x x y y  =  = ′  ′ 1 3 2 x x y y  =  = ′  ′ x=3x 1 2y y  ′ ′  = 1 2 , ,a b c c b a< < 0ac < ab ac> 0)( >− abc 0)( <− caac 2 2cb ab< 0, 0c a< > 0)( <− caac 0b = a b b a + c b a< < 0ac < 0, 0c a< > ab ac> 0<− ab 0)( >− abc 0, 0a c ac− > < 0)( <− caac 0b = 2 2cb ab= a b b a + 2 2cb ab< 2 2cb ab< 5．若角 的终边过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先利用诱导公式得到 ，再利用三角函数的定义可求三角 函数的值. 【详解】 ，而 ，所以 ， 故 ，故选 B. 【点睛】 本题考查三角函数的诱导公式和三角函数的定义，属于基础题. 6．若函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 （ ） A．0 B．2 C． 4 D．4 【答案】C 【解析】由切线方程可以得到 ，从而可求两者之和. 【详解】 因为函数 的图象在点 处的切线方程是 ， 所以 ，所以 ，故选 C. 【点睛】 本题考查导数的几何意义，属于基础题. 7．函数 在 上的最大值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】利用 的单调性可求函数的最大值. 【详解】 ，所以 在 上单调减函数， α (2,1)A 3sin( )2 απ − = 2 5 5 5 52− 5 5 5 5 − 3sin( ) cos2 π α α− = − 3sin( ) cos2 π α α− = − 5r OA= = 5 52cos =α 3 2 5sin( )2 5 απ − = − ( )f x 2x = 1y x= − − (2) '(2)f f+ = − (2) '(2)f f， ( )f x 2x = 1y x= − − (2) 2 1 3 '(2) 1f f= − − = − = −， (2) '(2) 4f f+ = − 1( )f x x x = − + ]3 1,2[ −− 5 2 2 3 8 3 − ( )f x 2 1'( ) 1 0f x x = − − < ( )f x ]3 1,2[ −− 所以 的最大值为 ，故选 C. 【点睛】 一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上 为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 ． 8．已知函数 ，则下列关于该函数 图象对称性的描述正确的 是（ ） A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 【答案】D 【解析】令 即可解出对称轴的方程，从而得到 C 错误，D 正确. 令 可得对称中心的横坐标，从而可判断 A、B 是错误的. 【详解】 令 ，其中 ，所以 ，当 时， ， 故 的图像关于直线 对称，因为 无整数解 ，故直线 不 是函数图像的对称轴. 令 ，其中 ，所以 ，因为 无整数解 ，故点 不是函数图像的对称中心，同理 也不是函数图像的对称中心. 故选 D. 【点睛】 本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若将判断框内“ ”改为关于 n 的不等式 “ ”，且要求输出的结果不变，则正整数 的取值为（ ） ( )f x ( ) 32 2f − = ( )f x ( ),a b ( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x> < ( )f x ( ),a b ( )f x ( ),a b ( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x≥ ≤ ( 2sin(2 )3f x x π= +） ( )f x ( ,0)6 π 5( ,0)12 π− 3x π= 12x π= 2 3 2x k π ππ+ = + 2 3x k π π+ = 2 3 2x k π ππ+ = + k Z∈ Zkkx ∈+= ,122 ππ 0k = 12x π= ( )f x 12x π= 2 12 3 kπ π π+ = k 3x π= 2 3x k π π+ = k Z∈ Zkkx ∈−= ,62 ππ 2 6 6 kπ π π− = k ,06 π     5 ,012 π −   100?S > 0 ?n n≥ 0n A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果 为 126，若将判断框内 “ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变，则条件 成立，可 得正整数 的取值为 6． 【详解】 框图首先赋值 ， ，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 判断框中的条件不满足，执行 ， ； 此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果 为 126． 若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变， 则条件 成立，可得正整数 的取值为 6．故选： ． 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基 本知识的考查． 10．已知圆的极坐标方程为 ，圆心为 ，点 的极坐标为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出． 【详解】 n s 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n 1n = 2s = 1 1 2n = + = 2 4 6s = + = 2 1 3n = + = 6 8 14s = + = 3 1 4n = + = 14 16 30s = + = 4 1 5n = + = 30 32 62s = + = 5 1 6n = + = 62 64 126s = + = s 100S > n 0n n 06 n 0n C 4cosρ θ= C P π(4, )3 | |CP = 4 3 4 2 3 2 圆的极坐标方程为 ρ=4cosθ，即 ρ2=4ρcosθ， 可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4． 圆心为 C（2，0）， 点 P 的极坐标为（4， ），化为直角坐标 ． 则|CP|=2 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题． 11．若关于 的不等式 的解集为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式等价于 ，分 ， ， 三种情况讨论即可. 【详解】 不等式 可化为 ， 当 时， 恒成立，不等式的解集为 ，不合题意； 当 时，则不等式的解为 ，故 ，无解； 当 时，则不等式的解为 ，故 ，解得 ； 综上， ，故选 C. 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，注意合理去除绝对值的符号及对参数的合理分类讨论. 12．函数 的部分图像如图所示，则 3 π ( )2 2 3， 3 x | 2 | 3ax − < }3 1 3 5|{ <<− xx =a 2− 2 3− 3 1 5ax− < < 0a = 0a > 0a < | 2 | 3ax − < 1 5ax− < < 0a = 1 5ax− < < R 0a > 1 5xa a − < < 1 5 3 5 1 3 0 a a a − = −  =  >  0a < 5 1xa a < < − 1 1 3 5 5 3 0 a a a − =  = −  <  3a = − 3a = − A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：由题图知， ，最小正周期 ，所以 ，所以 .因为图象过点 ，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，得 ，所以 ，故选 A. 【考点】 三角函数的图像与性质 【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数 图像的最高点、最低点确定 A，h 的值，由函数的周期确定 ω 的值，再根据函数图像上 的一个特殊点确定 φ 值． 13．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出当 时， 和当 时， ，利用 的值域可得 满足的不等式，从而求出实数 的取值 ( ) 2 2 ,0 4 1 , 02 x x x x f x a x − + ≤ ≤ =   − ≤ <    [ 8,1]− a ( , 3]−∞ − [ 3,0)− [ 3, 1]− − }3{− 40 ≤≤ x ( )8 1f x− ≤ ≤ 0a x≤ < ( )1 12 a f x − ≤ <   ( )f x a a 范围. 【详解】 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ， 因为 的值域为 ，所以 ，故 ，故选 B. 【点睛】 分段函数的值域，应是函数在不同范围上的函数值的取值集合的并，解题中应该根据函 数的值域决定函数在不同范围上的函数值的集合之间的关系. 14．已知函数 ，则不等式 的解 集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断出 为 上的偶函数，再利用当 时， 得到函数的 单调性，从而可解原不等式. 【详解】 因为 ，所以 为 上的偶函数， 又 等价于 即： ， ， 当 时， ，故 在 为增函数，故 等价于 即 即 ，故不等式的解集为 ，故选 C. 【点睛】 对于偶函数 ，其单调性在两侧是相反的，并且 ，对于 奇函数 ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉 40 ≤≤ x ( ) ( )22 2 1 1f x x x x= − + = − − + ( )8 1f x− ≤ ≤ 0a x≤ < ( ) 1 2 x f x  = −   ( )1 12 a f x − ≤ <   ( )f x [ 8,1]− 1 82 0 a a   − ≥ −      < 3 0a− ≤ < 2( ) sin cosf x x x x x= + + 1(ln ) (ln ) 2 (1) 0f x f fx + − < ( , )e +∞ (0, )e 1( , )ee 1(0, ) (1, )ee  ( )f x R 0x > ( )' 0f x > ( ) ( ) ( ) ( )2 2( ) sin cos sin cosf x x x x x x x x x f x− = − − + − + − = + + = ( )f x R 1(ln ) (ln ) 2 (1) 0f x f fx + − < (ln ) ( ln ) 2 (1) 0f x f x f+ − − < (ln ) (1)f x f< ( )'( ) sin cos sin 2 2 cosf x x x x x x x x= + − + = + 0x > ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+ (ln ) (1)f x f< ln 1x < 1 ln 1x− < < 1 x ee < < 1,ee      ( )f x ( ) ( ) ( )f x f x f x= = − ( )g x 对应法则 ． 二、填空题 15．若“ ”是真命题，则实数 m 的最小值为____________. 【答案】 【解析】试题分析： ， ，当 时， 的最大值是 1， 故 ，即实数 的最小值是 1． 【考点】全称命题的应用 16．若 ，则 ____________． 【答案】 【解析】利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式可求 的值. 【详解】 因为 ， 故 ，填 . 【点睛】 三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和 角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互 化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知 的角去表示未知的角. 17．函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】根据函数 在区间 上为增函数，可得 ，从 而可得 . 【详解】 f mxx ≤∈∀ tan],4,0[ π 3 1tan −=α cos2α = 4 5 cos2α 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tancos2 cos sin cos sin 1 tan α α αα α α α α α − −= − = =+ + 11 49cos2 1 51 9 α − = = + 4 5 5)1()( 2 +−−= xaxxf 1( ,1)2 (2)f ( )2 7f ≥ ( ) ( )2 1 5f x x a x= − − + 1 ,12      2a ≤ ( )2 11 2 7f a= − ≥ 函数 在区间 上为增函数， 由于函数图象(抛物线)开口向上， 所以其对称轴 或与直线 重合或位于直线 的左侧， 即应有 ，解得 ， 所以 ， 即 的取值范围是 ，故答案为 . 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象与性质，重点考查二次函数的对称轴的位置与单调性，意 在考查数形结合思想的应用以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 18．已知函数 的最小值为 2，则实数 的值为 ____________． 【答案】 【解析】求出 ，分 ， ， 三种讨论函数的单调性可得函数 的最小值，从而得到 的值. 【详解】 ， 当 时， ， 为减函数，故 ，解得 ，舍； 当 时， ， 为减函数， ，故 ，舍； 当 时，若 ， ，故 在 上为减函数； 若 ， ，故 在 上为增函数； 所以 ，故 ，符合； 综上， ，故填 . 【点睛】 ( ) ( )2 1 5f x x a x= − − + 1 ,12      1 2 ax −= 1 2x = 1 2x = 1 1 2 2 a − ≤ 2a ≤ ( )2 11 2 7f a= − ≥ ( )2f [ )7,+∞ [ )7,+∞ ( ) ln , (0, ]f x mx x x e= − ∈ m e '( )f x 0m ≤ 10 m e < ≤ 1 em > m ( )1'( ) , 0,mxf x x ex −= ∈ 0m ≤ '( ) 0f x < ( ) ln , (0, ]f x mx x x e= − ∈ ( )min 1 2f x me= − = 3m e = 10 m e < ≤ '( ) 0f x < ( ) ln , (0, ]f x mx x x e= − ∈ ( ) ( )min 1 2f x f e me= = − = 3m e = 1 em > 10,x m  ∈   '( ) 0f x < ( )f x 10, m      1 ,x m  ∈ +∞   '( ) 0f x > ( )f x 1 ,m  +∞   min 1 1( ) ln 2f x m m m = × − = m e= m e= e 求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用 基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导 数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导 函数），再利用导数判断其符号． 三、解答题 19．已知集合 ， . （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 m 的取值范围． 【答案】解: (1) , ………2 分 (2) 或 …………………………………1 分 当 时，即 得 满足 ………1 分 当 时使 即 或 ………2 分 解得： ……………………………………………………1 分 综上所述， 的取值范围是 【解析】本试题主要是考查了集合的并集的运算以及集合间的关系的运用。 （1）利用 m=1 表示出 B，然后利用并集的运算，结合数轴法得到结论。 （2）由于 ，说明了需要对于集合 B 是否为空集分情况讨论，得到结论。 解: (1) , ………2 分 (2) 或 …………………………3 分 当 时，即 得 满足 ………4 分 当 时使 即 或 ………6 分 解得： 综上所述， 的取值范围是 ………8 分 20．已知复数 (其中 是虚数单位， )． { | 1 3}A x x= − < ≤ { | 3 1}B x m x m= < +≤ 1m = BA  RB A⊆  1, { |1 4}m B x x= = < < { | 1 4}A B x x∪ = − < < { | 1RC A x x= ≤ − 3}x > B φ= 1 3m m≥ + 1 2m ≤ − B ⊆ RC A B φ≠ B ⊆ RC A 1 3{1 3 1 m m m < + + ≤ − 1 3{ 3 m m m < + > 3m > m ( )1, 3,2  −∞ − ∪ +∞   B ⊆ RC A 1, { |1 4}m B x x= = < < { | 1 4}A B x x∪ = − < < { | 1RC A x x= ≤ − 3}x > B φ= 1 3m m≥ + 1 2m ≤ − B ⊆ RC A B φ≠ B ⊆ RC A 1 3{1 3 1 m m m < + + ≤ − 1 3{ 3 m m m < + > 3m > m ( )1, 3,2  −∞ − ∪ +∞   2(2 i) 1 i xz = + − − i x R∈ （1）若复数 是纯虚数，求 的值； （2）若函数 与 的图象有公共点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）化简 得到 ，由复数 为纯虚数可得 的值. （2）算出 ，因一元二次方程 在 有解，利用判别式 可得 的取值范围. 【详解】 （1）∵ ，且复数 为纯虚数 ∴ ，解得 （2）由（1）知函数 又函数 与 的图象有公共点 ∴方程 有解，即方程 有解 ∴ ∴ 或 ∴实数 的取值范围是 ． 【点睛】 （1）复数 ，①若 ，则 为实数；②若 ，则 为虚数， 特别地，如果 ，则 为纯虚数． （2）对于含参数的一元二次不等式的恒成立问题，注意区分变量的范围，如果范围为 ， 则可以利用判别式来处理，如果范围不是 ，则可转变为函数的最值或用参变分离来考 虑. 21．已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （2）若 ，且 ，求 的值． 【答案】（1）最小正周期 ，单调减区间为 （2） 【解析】分析：（1）根据原式结合二倍角公式，降幂公式，辅助角公式进行化简，然 z x 2( ) | |f x z= ( ) 3g x mx= − + m 2x = ( ,2] [10, )−∞ +∞ z (2 ) (1 )iz x x= − + − z x 2( ) 2 6 5f x x x= − + ( ) ( )f x g x= R m 2(2 i) (2 ) (1 )i1 i xz x x= + − = − + −− z 2 0 1 0 x x − =  − ≠ 2x = 2 2 2 2( ) | | (2 ) (1 ) 2 6 5f x z x x x x= = − + − = − + ( )f x ( ) - 3g x m x= + 22 6 5 3x x mx− + = − + 22 ( 6) 2 0x m x+ − + = 2( 6) 4 2 2 0m∆ = − − × × ≥ 2≤m 10m ≥ m ( ,2] [10, )−∞ +∞ Rbabiaz ∈+= ,, 0b = z a b b a + z 0,0 ≠= ba z R R 2 1( ) (2cos 1) sin 2 cos4 ,2f x x x x x= − ⋅ + ∈R ( )f x (0, )α π∈ 2( )4 8 2f α π− = 23 7 π 2 kπ π kπ 5π[ , ]( )2 16 2 16 k Z+ + ∈ 后计算周期，根据正弦函数的基本性质求得单调区间；（2）∵f（ ）＝ ，即 sin ＝1. 可得 α 的值，然后按正切的和差公式打开即可求解. 解：(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋ cos 4x ＝ (sin 4x＋cos 4x) ＝ sin ， ∴f(x)的最小正周期 T＝ . 令 2kπ＋ ≤4x＋ ≤2kπ＋ π，k∈Z， 得 ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z. ∴f(x)的单调减区间为 ，k∈Z. (2)∵f ＝ ， 即 sin ＝1. 因为 α∈(0，π)，－ <α－ < ， 所以 α－ ＝ ，故 α＝ . 因此 tan ＝ ＝ ＝2－ . 点睛：考查三角函数的化简和基本性质，对于求值计算题要特别注意角度的 范围变化，这关系到角度的大小取值和三角函数值符号的判定，同时对三角 函数的和差公式要做到熟练是解题关键，属于基础题. 22．某小型机械厂有工人共 名，工人年薪 4 万元/人，据悉该厂每年生产 台机器， 除工人工资外，还需投入成本为 (万元)， 且每台机器售价为 万元.通过市场分析， 该厂生产的机器能全部售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 的函数解析式； 4 8 α π− 100 x )(xC ( ) 21 10 ,0 703 1000051 1450,70 150 x x x C x x xx  + < <=   + − ≤ ≤ 50 ( )L x x （2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？ 【答案】（1） ；（2）100 台时，850 万元 【解析】（1）利用利润等于销售额减去成本可得利润函数. （2）利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值. 【详解】 （1）依题意有 . （2）当 时， 此时 时， 取得最大值 万元； 当 时， 当且仅当 时，即 时， 取得最大值 万元． 综上可知当年产量为 100 台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为 850 万元． 【点睛】 本题考查函数的应用，一般地，函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型，并利用 常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值. 23．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间与最值； （2）若方程 在区间 内有两个不相等的实根，求实数 的 取值范围．（其中 为自然对数的底数） 【答案】（1）单调增区间是 ；单调减区间是 ， ，无最小值； （2） 【解析】（1）求出 后讨论其符号可得函数的单调区间和最值. （2）原方程等价于 在区间 内有两个不相等的实根，也就是函数 21 40 400,0 703( ) 100001050 ,70 150 x x x L x x xx − + − < <=    − + ≤ ≤    ( ) 21 40 400,0 703( ) 50 400 100001050 ,70 150 x x x L x x C x x xx − + − < <= − − =    − + ≤ ≤    0 70x< < 2 21 1( ) 40 400 ( 60) 8003 3L x x x x= − + − = − − + 60=x ( )L x 800 70 150x≤ ≤ 10000 10000( ) 1050 ( ) 1050 2 850L x x xx x = − + ≤ − ⋅ = xx 10000= 100=x ( )L x 850 2( ) 2lnf x x x= − ( )f x 32 ln 0x x mx x+ − = 1 ,ee      m e (0,1) (1, )+∞ max( ) 1f x = − 2 1(1,2 ]e + '( )f x 22ln x x m− = − 1 ,ee      与 的图象在区间 内有两个不同交点，结合（1）中函数的单调性可 得实数 的取值范围. 【详解】 （1）∵ ， ， ∴ ， ∴令 ，即 ，解得： . 令 ，即 ，解得： ， ∴函数 的单调增区间是 ；单调减区间是 ， ∴当 时， ， 无最小值. （2）∵方程 在区间 内有两个不相等的实根， ∴方程 在区间 内有两个不相等的实根， ∴函数 与 的图象在区间 内有两个不同交点， 又由（1）知函数 在 上单调递增；在 上单调递减 ， ∴当 时， ， ， 又 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴实数 的取值范围为 . 【点睛】 （1）一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数， 则 ． （2）含参数的闭区间上函数的零点的个数，可用参变分离把含参数的函数零点问题转 为不含参数的函数的图像问题，后者可用导数来刻画． ( )f x y m= − 1 ,ee      m 2( ) 2lnf x x x= − 0x > 2 2( 1)( 1)'( ) 2 x xf x xx x + −= − = − '( ) 0f x > 2( 1)( 1) 0x x x + −− > 0 1x< < '( ) 0f x < 2( 1)( 1) 0x x x + −− < 1>x ( )f x (0,1) (1, )+∞ 1x = max( ) (1) 1f x f= =− ( )f x 32 ln 0x x mx x+ − = 1 ,ee      22ln x x m− = − 1 ,ee      ( )f x y m= − 1 ,ee      ( )f x 1 ,1e      [ ]1,e 1x = max( ) 1f x = − min 1( ) min{ ( ), ( )}f x f f ee = 2 2 1 1( ) 2 3, 4( ) 2f f e ee e = − − > − = − < − 2 min( ) ( ) 2f x f e e= = − 2 12 1me − − ≤ − < − 2 121 em +≤< m 2 1(1,2 ]e + ( )f x ( ),a b ( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x> < ( )f x ( ),a b ( )f x ( ),a b ( ) ( )( )' 0 ' 0f x f x≥ ≤ 24．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程及圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的值． 【答案】（1） ： ，C: ；（2） 【解析】（1）消去参数 可得直线的普通方程，再把 化成 ，利用 可得圆的直角方程. （2）将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程后利用韦达定理可求 的值. 【详解】 （1）由直线 的参数方程消参得直线普通方程为 ， 由 得 ， 故 ，即圆 的直角坐标方程为 . （2）将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 , 即 ，由于 ， 故可设 是上述方程的两实根, 所以 ， 又直线 过点 ，故由上式及 的几何意义得： 【点睛】 极坐标转化为直角坐标，关键是 ，而直角坐标转化为极坐标，关键是 xOy l 23 ,2 25 2 x t y t  = −  = − t θρ sin52= l l ,A B P (3, 5) | | | |PA PB+ l 5 3y x= + − 5)5( 22 =−+ yx 3 2 t θρ sin52= 2 2 5 sinρ ρ θ= cos sin x y ρ θ ρ θ =  = l C | | | |PA PB+ l 5 3y x= + − θρ sin52= 2 2 5 sinρ ρ θ= 05222 =−+ yyx C 5)5( 22 =−+ yx l 2 2 2 23 52 2t t    − + =          2 3 2 4 0t t− + = 2( )3 2 4 4 2 0∆ = − × = > 1 2,t t 1 2 1 2 3 2 4 t t t t  + = = l (3, 5)P t 232121 =+=+=+ ttttPBPA cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中 为参数），注意 表示直线上的点 到 的距离，我们常利用这 个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等． 25．已知 ， ，函数 的最小值为 ． （1）求 的值； （2）求 的最小值． 【答案】（1） ;（2） . 【解析】试题分析：（1）运用绝对值不等式的性质，可得 ，结合条件即 可得到所求值； （2）由（1）可得 b=4﹣a，代入所求式子可得 a 的二次函数，配方即可得到所求最小 值． 试题解析： （1）因为， ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，又 ， ， 所以 ，所以 的最小值为 ，所以 . （2）由（1）知 ， . 当且仅当 ， 时， 的最小值为 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝 对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值 不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思 想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 2 2 2 tan x y y x ρ θ  = + = 0 0 cos sin x x t y y t α α = +  = + t t ( ),P x y ( )0 0,P x y 0a > 0>b ( )f x x a x b= + + − 4 a b+ 2 21 1 4 9a b+ 4=+ ba 16 13 ( )f x a b≥ + x a x b a b a b+ + − ≥ − − = + ( )f x a b≥ + ( )( ) 0x a x b+ − < 0a > 0b > a b a b+ = + ( )f x a b+ 4a b+ = 4a b+ = 4b a= − ( ) 2 22 2 2 21 1 1 1 13 8 16 13 16 1644 9 4 9 36 9 9 36 13 13a b a a a a a + = + − = − + = − +   16 13a = 36 13b = 2 21 1 4 9a b+ 16 13