2017-2018学年天津市红桥区高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年天津市红桥区高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年天津市红桥区高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（　　）‎ A. 3x+2y﹣1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x﹣3y+5=0 D. 2x﹣3y+8=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0，把点（﹣1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．‎ 解：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为 2x﹣3y+c=0，把点P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣6+c=0，c=8，‎ 故所求的直线的方程为 2x﹣3y+8=0，‎ 故选：D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎2．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为， ，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎3．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（　　）‎ A. ﹣3 B. ﹣ C. ﹣6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 由于直线与直线平行，故它们的斜率相等，故有，解得，故选C.‎ ‎4．在空间，下列命题正确的是（　　）‎ A. 如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．‎ B. 如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β C. 如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β D. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β ‎【答案】A ‎【解析】对于 , 根据线面垂直的定义可得如果平面 内的一条直线 垂直于平面 内的任意一条直线，则，可得， 正确；对于 ，如果直线与平面内的一条直线平行， 可能在平面 内， 错误；对于 ，如果直线与平面 内的两条平行直线都垂直， 与不垂直， 错误；对于,如果平面内的两条平行直线都平行于平面，则与不平行， 错误，故选A．‎ ‎5．若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线的倾斜角为，则，又，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用 ；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.‎ ‎6．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )‎ A. (x－)2＋y2＝5 B. (x＋)2＋y2＝5‎ C. (x－5)2＋y2＝5 D. (x＋5)2＋y2＝5‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设圆心为 ，因为直线与圆相切，所以圆的方程为 ‎（x＋5）2＋y2＝5‎ ‎【考点】圆的方程 ‎7．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )‎ A. 平面ABC⊥平面ABD B. 平面ABD⊥平面BDC C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE ‎【答案】C ‎【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.‎ ‎【考点】面面垂直的判定与性质.‎ ‎8．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则 的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：令，得，即；在直线，；‎ 则（当且仅当，即时，取等号）．‎ ‎【考点】1．函数过定点；2．基本不等式．‎ 二、填空题 ‎9．圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】圆化为 ，可得圆心坐标为， 到直线距离为，故答案为.‎ ‎10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 取的中点，连接角于点，则，且四边形是平行四边形， 就是异面直线与所成的角，而， ， ，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.‎ 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎11．空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】空间直角坐标系中的点和之间的距离： ，故答案为.‎ ‎12．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆，得到圆心，半径为，令，即，直线与圆有公共点， 的取值范围是，即的最大值为，则的最大值为，故答案为.‎ ‎13．已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：‎ ‎①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ‎③m∥n，m∥α⇒n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．‎ 其中正确命题的序号是_____．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】对于①，根据线面垂直的性质定理可得两条直线与同一平面垂直，则两条直线平行，故①是真命题；对于②，设正方体中，上底面所在平面是，下底面所在平面是，直线是且直线是，则满足，但直线是异面直线，得不出，故②不正确；对于③，若且，则或，不一定能得出，故③不正确；对于④，因为且，所以，结合，可得，故④真命题， 故答案为①④.‎ 三、解答题 ‎14．已知圆：，直线：．‎ ‎（1）当为何值时，直线与圆相切；‎ ‎（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据给出的圆的一般方程可化为标准方程，然后求出圆心、半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，可以求出的值；（2）‎ 本问考查直线与圆相交问题的弦长公式，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，再求出圆的半径，于是可以根据公式或列出方程，问题就可以得到解决.‎ 试题解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.‎ ‎（1）若直线与圆相切，则有，解得.‎ ‎（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，‎ 得，解得或 故所求直线方程为或.‎ ‎【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线距离；3.直线与圆相交弦长公式.‎ ‎15．已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 和.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心，由圆经过点，可得，由此求得的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；（Ⅱ）求出，分切线斜率不存在、切线斜率存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式求出切线斜率即可，即可求切线方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）设圆的方程： ‎ ‎， ，‎ 解出： ， ， ‎ 所以圆的方程为； ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎①若斜率存在，设切线方程为， ‎ 即，所以圆心到直线的距离为，‎ 解得，‎ 所以切线方程为： ‎ ‎②若切线斜率不存在，则切线方程为（满足题意）；‎ 综上： 和.‎ ‎16．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，‎ E是PC的中点．求证：‎ ‎（Ⅰ）CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）PD⊥平面ABE．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE；‎ ‎（Ⅱ）要证PD⊥平面ABE，只需证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线AE与AB即可．‎ 证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，‎ 故CD⊥平面PAC．‎ 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．‎ ‎（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．‎ 又AB=BC，且∠ABC=60°，‎ ‎∴AC=AB，从而AC=PA．‎ 又E为PC之中点，∴AE⊥PC．‎ 由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．‎ 又AB∩AE=A，‎ 故PD⊥平面ABE．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．‎ ‎17．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；‎ ‎（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题解析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明取的中点为，连接，则可证四边形是平行四边形，得出，从而证明结论；（Ⅱ）先证⊥， ⊥，利用线面垂直的性质定理可证明⊥平面可得∠为直线与平面所成角，利用直角三角形选择求求其正切值，即可得结果；（Ⅲ）利用等积变形和三棱锥的体积计算公式可得==.‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连，; ‎ 因为，分别为， 中点，所以， ∥;‎ 且是中点， ， ∥;‎ 且∥，‎ 则四边形为平行四边形 所以∥，且 平面; 平面；‎ ‎（Ⅱ）解：因为⊥底面， 底面，所以⊥； ‎ 又因为底面是菱形， =2， =1，∠=，则,‎ ‎ + = ， ⊥，‎ 且, 所以⊥平面,‎ 则是在平面内的射影， ‎ ‎∠为直线与平面所成角，‎ ‎==‎ ‎（Ⅲ）解：因为是中点，点到平面的距离等于点到平面的距离,‎ ‎==.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎