2012年文数高考试题答案及解析-上海

2012年文数高考试题答案及解析-上海

‎2012上海高考数学试题（文科）答案与解析 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）‎ ‎【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.‎ ‎4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为         （结果用反三角函数值表示）.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设直线的倾斜角为，则.‎ ‎【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.‎ ‎5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.‎ ‎6.方程的解是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据方程，化简得，令，‎ 则原方程可化为，解得 或，即.所以原方程的解为 .‎ ‎【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.‎ ‎7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .‎ ‎【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.‎ ‎8.在的二项式展开式中，常数项等于 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.‎ ‎9.已知是奇函数，若且，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为函数为奇函数，所以有，即 .‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.‎ ‎10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得到或或或 其可行域为平行四边形区域，（包括边界）目标函数可以化成，的最小值就是该直线在轴上截距的最小值，当该直线过点时，有最小值，此时 .‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点时，有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.‎ ‎11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .‎ ‎【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.‎ ‎12.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以向量AB所在直线为轴，以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设，根据题意，，所以 所以，所以， 即.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎13.已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，得到，‎ 从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .‎ ‎【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.‎ ‎14.已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】据题，并且，得到，，，，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 ‎ .‎ ‎【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ ‎15.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以 ‎，即，，故答案选择D.‎ ‎【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.‎ ‎16.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.‎ 根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况.属于中档题.‎ ‎17.在△中，若，则△的形状是（ ）‎ A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ‎【答案】 A ‎【解析】由正弦定理，得代入得到，‎ 由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.‎ ‎18.若（），则在中，正数的个数是（ ）‎ A．16 B‎.72 C.86 D.100‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）‎ ‎19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：‎ ‎（1）三棱锥的体积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎ 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，求函数（）的反函数.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．‎ ‎21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以‎1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．‎ ‎22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系中，已知双曲线.‎ ‎（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；‎ ‎（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；‎ ‎（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的；‎ ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）；‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，求.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．‎