高中数学必修4同步练习：简单的三角恒等变换

高中数学必修4同步练习：简单的三角恒等变换

必修四 3.2简单的三角恒等变换 一、选择题 ‎1、当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　)‎ A. B．－ C. D．4‎ ‎2、若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)‎ A．－ B. C．2 D．－2‎ ‎3、函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4、使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5、函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ ‎6、函数y＝sin＋sin的最大值是(　　)‎ A．2 B．‎1 C. D. ‎7、已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 二、填空题 ‎8、‎ ‎2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．‎ ‎9、已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．‎ ‎10、已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．‎ ‎11、函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．‎ 三、解答题 ‎12、求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．‎ ‎13、已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．‎ ‎14、已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)‎ ‎＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．‎ ‎∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)‎ ‎∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，‎ ‎∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－.‎ ‎∴tan x＝－.]‎ ‎2、A　[∵α是第三象限角，cos α＝－，‎ ‎∴sin α＝－.‎ ‎∴＝＝＝·＝＝＝－.]‎ ‎3、D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，‎ 令k＝0得增区间为.]‎ ‎4、D　[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.‎ 当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.]‎ ‎5、D　[f(x)＝sin，x∈.‎ ‎∵－≤x－≤，‎ ‎∴f(x)min＝sin＝－1.]‎ ‎6、B　[y＝2sin xcos ＝sin x．]‎ ‎7、C 二、填空题 ‎8、 解析　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.‎ ‎∴cos θ－sin θ＝.‎ 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.‎ ‎∴cos θ＋sin θ＝.‎ ‎∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.‎ ‎9、3‎ 解析　设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，‎ 底角大小为(180°－α)．‎ ‎∴tan＝tan＝＝＝＝3.‎ ‎10、 解析　设α为该等腰三角形的一底角，‎ 则cos α＝，顶角为180°－2α.‎ ‎∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2·＝.‎ ‎11、π 解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－ ‎＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π.‎ 三、解答题 ‎12、解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°‎ ‎＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin 其中cos φ＝，sin φ＝.所以f(x)max＝7.‎ ‎13、解　m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，‎ ‎|m＋n|＝ ‎＝＝ ‎＝2.‎ 由已知|m＋n|＝，得cos＝.‎ 又cos＝2cos2－1，‎ 所以cos2＝.‎ ‎∵π<θ<2π，‎ ‎∴<＋<.‎ ‎∴cos<0.‎ ‎∴cos＝－.‎ ‎14、解　(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2 ‎＝2＋1‎ ‎＝2sin＋1‎ ‎＝2sin＋1，∴T＝＝π.‎ ‎(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，‎ 有2x－＝2kπ＋，‎ 即x＝kπ＋ (k∈Z)，‎ ‎∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．‎