2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数，则其虚部为（ ）‎ A. -1 B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先计算出复数z,再求其虚部得解.‎ 详解：由题得z=-1+2i,所以复数z的虚部为2.‎ 故答案为：C 点睛：本题主要考查复数的运算及虚部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)注意复数的虚部是b,不是bi.所以不要错选B.‎ ‎2．点的极坐标为，则点的直角坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接用极坐标的公式求点A的直角坐标.‎ 详解：由题得所以点A的直角坐标为.‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查极坐标化直角坐标，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)极坐标化直角坐标的公式是，不要记成了，要弄清公式的推导过程就不会记错了.‎ ‎3．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形. ①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ）‎ A. 正方形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等 D. 以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：理解三段论的大前提、小前提、结论，结合题意即可得到相应的结论．‎ 详解：大前提：②平行四边形的对角线相等；‎ 小前提：①正方形的对角线相等；‎ 结论：③正方形是平行四边形．‎ 点睛：本题考查三段论的有关知识，解决本题的关键是区分大前提、小前提、结论．‎ ‎4．若，（），则，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ，的大小由的取值确定 ‎【答案】A ‎【解析】∵ ‎ 且 ， ∴，又，∴，故选C.‎ ‎5．已知，的取值如下表所示；若与线性相关，且，则（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A. 2.2 B. 2.6 C. 2.8 D. 2.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：我们根据已知表中数据计算出（），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．‎ 详解：‎ ‎∵点（）在回归直线方程y =0.95x+a上，‎ ‎∴4.5=0.95×2+ a，解得：a =2.6．‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查回归直线的性质等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）回归直线经过样本的中心点（），要理解记住这个性质并在解题中灵活运用.‎ ‎6．给出下列两个论断：‎ ‎①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.‎ ‎②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且.‎ 以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以 的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.‎ ‎7．下边的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，分别为10、14，则输出的（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：模拟程序的执行过程，即可得出程序结束时输出的a值．‎ 详解：模拟程序的执行过程，如下；‎ a=10，b=14，a≠b，且a＜b，‎ b=14﹣10=4，a≠b，且a＞b，‎ a=10﹣4=6，a≠b，且a＞b，‎ a=6﹣4=2，a≠b，且a＜b，‎ b=4-2=2,a=b,‎ 程序结束；故输出a的值为2．‎ 故答案为：B 点睛：本题主要考查程序框图的运用、更相减损术等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.‎ ‎8．参数方程（为参数）所表示的曲线是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知 ， 同号（ 除外），且 ，‎ 代入，得 ‎ 本题选择D选项.‎ ‎9．在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，圆心坐标为(0,0)，则圆心(0,0)到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.‎ ‎10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若是虚数，则；②若复数满足，则；‎ ‎③若复数，，且对应的复数位于第四象限，则实数的取值范围是；‎ ‎④若，则.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.‎ 详解：对于①,举例z=1+i ,但是，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.‎ 对于②，举例z=i，所以但是,所以②不正确.‎ 对于③，=所以所以③正确.‎ 对于④，若，举例但是不成立.所以④不正确.‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.‎ ‎11．观察，，，，由归纳推理得：定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析: 由已知中，，，，…分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．‎ 详解: 在中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；‎ 在中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；‎ 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；‎ ‎…‎ 我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．‎ 若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，‎ 又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数 故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x）.‎ 点睛：本题主要考查归纳推理等基础知识，其中归纳出原函数为偶函数，导函数为奇函数是关键.‎ ‎12．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”，某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为（，且）；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列推理正确的是（ ）‎ A. 每场比赛第一名得分为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名 C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名 ‎【答案】C ‎【解析】若每场比赛第一名得分为4，则甲最后得分最高为，不合题意； 三人总分为，每场总分数为 分，所以，因此 甲比赛名次为5个第一，一个第三；而乙比赛名次有1个第一，所以丙没有一场比赛获得第一名，因此选C.即乙比赛名次为1个第一，4个第三，1个第二.‎ 二、填空题 ‎13．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日至11日在海南博鳌举行.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在右面“性别与会俄语”的列联表中，__________．‎ ‎【答案】 28. ‎ ‎【解析】分析：根据2×2列联表得到关于a,b,d的方程组，解方程组即得a,b,d的值,即得 的值.‎ 详解：由题得，解之得a=12,b=8,d=24.所以a-b+d=28.‎ ‎ 故答案为：28‎ 点睛：本题主要考查2×2列联表，属于基础题.‎ ‎14．若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：直接根据直线的参数方程求出斜率，再求直线倾斜角的余弦值.‎ 详解：由题得故直线的倾斜角的余弦值为.‎ 点睛：本题主要考查直线的参数方程、同角的三角函数关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.‎ ‎15．定义一种运算如下： ，则复数的共轭复数是________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数，其共轭复数为，故答案为.‎ ‎16．斯里尼瓦瑟拉马努金是印度天才数学家，他短短的三十三年光阴却给人类留下了许多宝贵的财富，尤其是在恒等式的探究方面.“”这便是举世闻名的拉马努金恒等式.观察这个恒等式的特征，我们可以得到下列代数式的值，，…，由此，我们猜想__________（）．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据恒等式的特点，得到恒等式的规律，即可得到结论．‎ 详解：设=x，则 依题意可得，解得x=4，‎ 设x，‎ 依题意可得，解得x=n+1.‎ 故答案为：n+1‎ 点睛：本题主要考查归纳推理类比推理等基础知识，意在考查学生归纳推理类比推理的能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数.（，为虚数单位）.‎ ‎（Ⅰ）若是纯虚数,求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，设，试求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；‎ ‎（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。‎ 详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）若，则. ‎ ‎∴ ‎ ‎， ‎ ‎∴，，∴. ‎ 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算。对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．‎ ‎18．在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设的交点为，，试求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的极坐标方程为.圆的极坐标方程为. （Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）直接代极坐标的公式，求，的极坐标方程. （Ⅱ）先利用极坐标求出，再求的面积. ‎ 详解：（Ⅰ）∵， ，‎ ‎∴直线 的极坐标方程为. ‎ ‎∴，‎ 化简得，此即为圆的极坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）将代入，‎ 整理，得，‎ 解得，. ‎ ‎∴. ‎ ‎∵圆的半径为，‎ ‎ ∴.‎ 点睛：(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. （2）第2问，可以用极坐标解答，也可以先化成直角坐标，利用直角坐标的知识解答.‎ ‎19．国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如下表所示：‎ 年份2018（年）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人口数（十万）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎19‎ ‎（Ⅰ）请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）据此，估计2023年该市人口总数.‎ ‎【附】参考公式：，.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ）196万.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）直接利用最小二乘法原理求关于的线性回归方程.( Ⅱ)令回归方程中的x=5得2023年该市人口总数.‎ 详解：（Ⅰ）由题设，得 ，， ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 所以 ‎ ‎∴所求关于 的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，当时，.‎ 据此估计2023年该市人口总数约为196万.‎ 点睛：本题主要考查回归分析，考查最小二乘法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及基本的运算能力.‎ ‎20．‎ ‎2018年3月山东省高考改革实施方案发布：2020年夏季高考开始全省高考考生总成绩将由语文、数学、外语三门统一高考成绩和学生自主选择的普通高中学业水平等级性考试科目的成绩共同构成.省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.右面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.‎ ‎（Ⅰ）请根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表：‎ 赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计 ‎（Ⅱ）试判断我们是否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？.‎ ‎【附】，其中.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析.‎ ‎（Ⅱ）没有的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关”.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表.(2)把数据代入公式得没有的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关”.‎ 详解：（Ⅰ）列联表，如下：‎ 赞成 不赞成 合计 城镇居民 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 农村居民 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）依据（Ⅰ）中数据代入公式，‎ 得观测值 ‎∴我们没有的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关”．‎ 点睛：本题主要考查2×2列联表和独立性检验，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标变为原来的，得到曲线，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅲ）设为曲线上的动点，求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅲ） ，此时 的坐标为.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）直接消参得到直角坐标方程，利用极坐标公式把极坐标化成直角坐标方程.( Ⅱ)利用伸缩变换公式求曲线的方程.( Ⅲ) 设椭圆上的点,再求d的表达式，最后利用三角函数的图像性质求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.‎ 详解：（Ⅰ）由曲线：（）得（为参数）,‎ ‎∴，‎ 即为曲线的普通方程. ‎ 由曲线 ，得，‎ ‎∴即为的直角坐标方程. ‎ ‎（Ⅱ）依题意，设是曲线上任意一点，对应曲线上的点为，‎ 则有， ∴ .‎ ‎∵ : ，∴.‎ 即所求曲线的方程为. ‎ ‎（Ⅲ）易知，椭圆与直线无公共点，设椭圆上的点，‎ 从而点到直线的距离为  ‎ ‎ ‎ ‎∴当时，， ‎ 此时，，∴点的坐标为.‎ 点睛：（1）本题主要考查极坐标方程、普通方程和参数方程的互化，考查伸缩变换，考查曲线参数方程的应用,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)对于第（Ⅲ）问，上面的解答是效率比较高的一种，关键是利用参数方程设点，设椭圆上的点，优化了解题.这个技巧要注意运用.‎ ‎22．已知：，其中为自然对数的底数，.‎ ‎（Ⅰ）试猜想与的大小关系；‎ ‎（Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.‎ ‎【答案】（Ⅰ） 对一切 成立.‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）对在相应的范围内取值检验与的大小关系，猜想结论；（Ⅱ）对要证明的结论用分析法化简得到，由此构造函数，通过函数的单调性即可得到相应结论 详解：（Ⅰ）依题意，取，，得，即有；‎ 取，时，有，∴；‎ 取，时，，.‎ 又， ，‎ ‎∴ ，‎ 此时有.‎ 由此猜测对一切成立. ‎ ‎（Ⅱ）证明：要证对一切成立，‎ 只需证， ‎ 即证. ‎ 设函数，. ‎ ‎∴，当时，恒成立，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 又，∴，即，‎ 故有.‎ 点睛：比较大小的常用方法：‎ ‎（1）作差法：作差法的关键是变形，变形时经常用到的方法有通分、配方、因式分解等方法把差式变成几个代数式乘积的形式。‎ ‎(2)作商法：‎ 其中关键是判断商与1的大小．‎ ‎(3)特值法：‎ 选择、填空题可以用特值比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或 作商法判断．‎