高中数学（人教A版）必修4：3-1-1同步试题（含详解）

高中数学（人教A版）必修4：3-1-1同步试题（含详解）

高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1．cos17°等于(　　)‎ A．cos20°cos3°－sin20°sin3°‎ B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°‎ C．sin20°sin3°－sin20°cos3°‎ D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°‎ 解析　cos17°＝cos(20°－3°)＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.‎ 答案　B ‎2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D．－ 解析　原式＝cos(α＋30°－α)＝cos30°＝.‎ 答案　B ‎3．已知cosα＝，则cos的值为(　　)‎ A. B．－ C. D.或－ 解析　∵cosα＝，∴sinα＝±＝±.‎ ‎∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝·＋·＝有两解，应选D.‎ 答案　D ‎4．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析　原式＝cos(360°－65°)sin(90°－20°)－sin(180°－65°)cos(90°＋20°)‎ ‎＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°‎ ‎＝cos(65°－20°)‎ ‎＝cos45°＝.‎ 答案　A ‎5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，‎ ‎∴斜边AB＝5.‎ sinA＝＝，cosA＝＝，‎ sinB＝＝，cosB＝＝，‎ ‎∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB ‎＝×＋×＝.‎ 答案　C ‎6．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(α，β∈R)，当α＝，β＝时，a·b＝________.‎ 解析　a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos＝cos＝.‎ 答案　 ‎7．若cosαcosβ＝1，则cos(α－β)的值为________．‎ 解析　由cosαcosβ＝1，知 cosα＝cosβ＝－1，或cosα＝cosβ＝1.‎ ‎∴sinα＝sinβ＝0.‎ ‎∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.‎ 答案　1‎ ‎8．已知sinα＝－，α∈，cosβ＝，β∈.求cos(β－α)的值．‎ 解　由sinα＝－，α∈，得 cosα＝－＝－＝－.‎ 又由cosβ＝，β∈，得 sinβ＝－＝－＝－，‎ ‎∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα ‎＝×＋×＝.‎ ‎9．若sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值．‎ 解　由sinα＋sinβ＝，得 sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝.①‎ 令u＝cosα＋cosβ，则平方，得 cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝u2.②‎ ‎①＋②得u2＋＝2＋2cos(α－β)‎ ‎∴u2＝＋2cos(α－β)．‎ ‎∵cos(α－β)最大值为1，‎ ‎∴u2最大值为.‎ 故u的最大值为，‎ 即cosα＋cosβ的最大值为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图像经过点M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．‎ 解　(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，‎ 将点M代入，得sin＝，‎ 而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝.‎ 故f(x)＝sin＝cosx.‎ ‎(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，而α，β∈，‎ ‎∴sinα＝ ＝，sinβ＝ ＝.‎ ‎∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ‎＝×＋×＝.‎ 教师备课资源 ‎1.下列式子中正确的个数为(　　)‎ ‎①cos(α－β)＝cosα－cosβ ‎②cos(α－β)＝cosα＋cosβ ‎③cos(α－β)＝cosαcosβ ‎④cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎⑤cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 答案　B ‎2．cos45°cos15°＋sin45°sin15°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析　原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.‎ 答案　B ‎3．cosα＋sinα不等于(　　)‎ A.cos B.cos C．cos D.cos 解析　cos＝ ‎＝ ‎＝cosα＋sinα.‎ cos＝cos ‎＝cos ‎＝cos ‎＝cosα＋sinα.‎ cos＝cosαcos＋sinαsin ‎＝(cosα＋sinα)‎ ‎≠cosα＋sinα.‎ 答案　C ‎4．已知cos(α－β)＝，求(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2的值．‎ 解　原式＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ ‎＝2＋2cos(α－β)‎ ‎＝2＋2× ‎＝.‎ ‎5．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求cos(α－β)的值．‎ 解　由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得 sinα＋sinβ＝－sinγ①‎ cosα＋cosβ＝－cosγ②‎ ‎①2＋②2，得 ‎(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝sin2γ＋cos2γ＝1.‎ 整理，得(sin2α＋cos2α)＋(sin2β＋cos2β)＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，‎ ‎∴1＋1＋2cos(α－β)＝1.‎ ‎∴cos(α－β)＝－.‎