2017-2018学年吉林省长春市榆树实验中学等八校联考高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

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‎2017-2018学年吉林省长春市舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考高二下学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ）‎ A．推理的形式错误 B．大前提是错误的 C．小前提是错误的 D．结论是真确的 ‎3.，若，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.用反证法证明“如果，那么”假设的内容应是（ ）‎ A． B． C.且 D．或 ‎5.函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.，则（ ）‎ A． B． C.或 D．以上都不对 ‎7.用数学归纳法证明：时，从到时，等边左边应添加的式子是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C.钝角 D．锐角 ‎9.设函数的导函数为，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数在上的极小值点为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.观察数组：，，，------则的值不可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若复数为纯虚数，则实数的值等于 ．‎ ‎14.若数列是等差数列，则数列也是等差数列；类比上述性质，相应地，是正项等比数列，则也是等比数列 ．‎ ‎15.已知，，，...，类比这些等式，若（均为正整数），则 ．‎ ‎16.已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知复数在平面内对应的点分别为，，（）.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值. ‎ ‎18.设函数在及时取得极值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围。 ‎ ‎19.设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成三角形面积为定值，并求此定值. ‎ ‎20.在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）.‎ ‎（1）写出此数列的前项；‎ ‎（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明. ‎ ‎21.等差数列的前项和为，‎ ‎（1）求以及 ‎（2）设，证明数列中不存在不同的三项成等比数列 ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知函数，其中.‎ （1） 求函数的单调区间；‎ （2） 若直线是曲线的切线，求实数的值；‎ （3） 若设，求在区间上的最小值.（其中为自然对数上的底）‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：1）由题意可知 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ 2） 由 ‎∴‎ 由对应的点在二、四象限的角分线上可知 ‎∴‎ 18. 解：（1）,‎ ‎∵函数在及取得极值，则有，.‎ 即，解得，.‎ （2） 由（1）可知，，‎ ‎.‎ 当时，；‎ 当时，‎ 当时，.‎ ‎∴当时，取得极大值，又，.‎ 则当时，的最大值为 ‎∴对于任意的，有恒成立，∴，解得或，‎ 因此的取值范围为.‎ 18. 解：（1）方程可化为.‎ 当时，.又，‎ 于是解得故.‎ ‎（2）设为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为，即.‎ 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为.‎ 所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为.‎ 故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，‎ 此定值为.‎ 18. 解：（1）由已知，，分别取 得，，‎ 所以数列的前项是：，，，‎ ‎（2）由（1）中的分析可以猜想.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，公式显然成立.‎ ‎②假设当时成立，即，那么由已知，‎ 得，即，‎ 所以，即，‎ 又由归纳假设，得a，‎ 所以，即当时，公式也成立.‎ 19. 解：（1）设的首项为 由已知得 ‎ 求得 ‎ 解：所以 ‎ ‎（2）由 假设中存在不同的三项能构成等比数列，即成等比数列 所以 即 所以 因为是正整数，所以和均为有理数 所以，‎ 所以，所以所以与矛盾 所以数列中不存在不同的三项成等比数列 ‎22.1）①当时为常函数 ‎②当时 由 令即.所以 ‎∴在和上为减函数，在上为增函数 ‎③当时 由 令即.所以 ‎∴在和上为增函数，在上为减函数 ‎∴综上所述：当时为常函数 当时在和上为减函数，在上为增函数 当时在和上为增函数，在上为减函数 ‎2）由切线斜率，，①‎ 由，.‎ 把代入①得，‎ 把代入①得，‎ 把代入①得（舍去），‎ 故所求实数的值为.‎ ‎3）∵，‎ ‎∴，解得，‎ 故在区间上递增，在区间上递减，‎ ‎①当时，即时，在区间上递增，其最小值为；‎ ‎②当时，即时，的最小值为；‎ ‎③当，即时，在区间上递减，其最小值为.‎ ‎ ‎