【数学】安徽省定远县育才学校2019-2020学年高二下学期期末考试（文）
安徽省定远县育才学校 2019-2020学年
高二下学期期末考试（文）
一、选择题 (共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 )
1.下列命题错误的是( )
A． 命题“若 p，则 q”与命题“若 q，则 p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且 x≠1，都有 x＋ >2
D． “若 am2
1，条件 q：x>a，且 p是 q的充分不必要条件，则 a的取值
范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
5.已知点 P在曲线 y＝
e
上，α为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A． [0，
π
) B． [
π
，
π
)
C． (
π
，
π
] D． [ π
，π)
6.设 F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点 F1，F2分别作 x轴的垂线，交
椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e为( )
A． B． C． D．
7.设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－2处取得极小值，则函数 y
＝xf′(x)的图象可能是( )
A． B．
C． D．
8.在半径为 r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大
时，其梯形的上底为( )
A．
B．
r C．
r D．r
9.已知函数 y＝f(x)是定义在实数集 R上的奇函数，且当 x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)成立(其
中 f′(x)是 f(x)的导函数)，若 a＝ f( )，b＝f(1)，c＝ log
f log
，则 a，b，c的大小
关系是 ( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10.函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(1)＝0，当 x＞0 时，有
＞0恒成立，则不
等式 f(x)＞0的解集为( )
A． (－1,0)∪(1，＋∞)
B． (－1,0)∪(0,1)
C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D． (－∞，－1)∪(0,1)
11.M是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以 Fx为始边，FM为终边的角为α，
且α＝60°，若|FM|＝4，则 p等于( )
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
12.已知 F1，F2分别为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在 C上，|PF1|＝2|PF2|，则
cos∠F1PF2等于( )
A． B．
C． D．
二、填空题(共 4小题,每小题 5分,共 20分)
13.如图，直线 y＝x－3与抛物线 y2＝4x交于 A，B两点，过 A，B两点向抛物线的准线作垂
线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB的面积为______．
14.若 f(x)＝
x3－4x＋2与直线 y＝k有且只有一个交点，则 k的取值范围为________．
15.命题 p：若 a，b∈R，则 ab＝0是 a＝0的充分条件，命题 q：函数 y＝ 的定义域是[3，
＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“ p”中是真命题的为________．
16.下列结论：
①若命题 p：∃x0∈R，tanx0＝2；命题 q：∀x∈R，x2－x＋ >0，则命题“p∧( q)”是假命题；
②已知直线 l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则 l1⊥l2的充要条件是 ＝－3；
③“设 a，b∈R，若 ab≥2，则 a2＋b2>4”的否命题为“设 a，b∈R，若 ab<2，则 a2＋b2≤4”．其
中正确结论的序号为________．
三、解答题(共 6小题,共 70分)
17.（10分）已知命题 p：对数 loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且 a≠1)有意义，q：关于实数 t的不
等式 t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题 p为真，求实数 t的取值范围；
(2)若命题 p是 q的充分条件，求实数 a的取值范围．
18.（12分）已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上
两点坐标分别为 A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为 ，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)过点 O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆 C分别交于 M，N两点，证明：点
O到直线 MN的距离为定值．
19. （12分）已知函数 f(x)＝lnx－x2＋x.
(1)求函数 f(x)的单调递减区间；
(2)若在 y轴右侧，函数 h(x)＝(a－1)x2＋2ax－1 的图象都在函数 f(x)图象的上方，求整数 a
的最小值．
20. （12分）已知双曲线 C：
－
＝1(a>0，b>0)的离心率为
，且过点( ，1)．
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 与双曲线 C恒有两个不同的交点 A，B，求 k的取值范围．
21. （12 分）如图，已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A是抛物线上横坐标为 4，且位
于 x轴上方的点，点 A到抛物线准线的距离等于 5，过点 A作 AB垂直于 y轴，垂足为点 B，
OB的中点为 M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点 M作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N的坐标．
22. （12分）已知函数 f(x)＝lnx－
ax2(a∈R)．
(1)若 f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线 x－2y＋1＝0垂直，求实数 a的值
(2)求函数 f(x)的单调区间；
(3)讨论函数 f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．
参考答案
一、选择题(共 12小题,每小题 5分,共 60分)
1. D
【解析】 D选项，“若 am2－2时，f′(x)>0.
所以 x<－2时，xf′(x)>0；
－20时，xf′(x)>0.
故选 C.
8.D
【解析】如下图所示，为圆及其内接梯形，
设∠COB＝θ，则 CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，
∴S＝ cos
·rsinθ
＝r2sinθ(1＋cosθ)
∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]
＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)
令 S′＝0得 cosθ＝－1(舍去)或 cosθ＝
.
即当 cosθ＝
时，梯形面积最大，此时上底 CD＝2rcosθ＝r.
9.A
【解析】∵函数 y＝f(x)是定义在实数集 R上的奇函数，
∴当 x∈(－∞，0)时，
xf′(x)＜f(－x)等价为 xf′(x)＋f(x)＜0，
构造函数 g(x)＝xf(x)，
则 g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，
∴当 x∈(－∞，0)时，函数 g(x)单调递减，
且函数 g(x)是偶函数，
∴当 x∈(0，＋∞)时，函数 g(x)单调递增，
则 a＝ f( )＝g( )，b＝f(1)＝g(1)，
c＝ log
f log
＝g log
＝g(－2)＝g(2)，
∵1＜ <2，
∴g(1)＜g( )＜g(2)，
即 b＜a＜c，故选 A.
10.A
【解析】令 g(x)＝
，
则 g′(x)＝
，
由题意知 g(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数，
且 g(1)＝0，
∵f(x)是 R上的奇函数，
∴g(x)是 R上的偶函数．
∴
的草图如图所示：
由图象知：当 x＞1时，f(x)＞0，
当－1＜x＜0时，f(x)＞0.
∴不等式 f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
11.B
【解析】 不妨设 M在第一象限，过点 M作 MN⊥x轴，垂足为 N，计算可得|MN|＝2 ，
|FN|＝2，所以 M的坐标为 ，代入 y2＝2px(p>0)，得 p＝2或 p＝－6(舍)．
12.C
【解析】 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2 ，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2 ，|PF1|＝4 .|F1F2|＝2c＝2 ＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝ ＝ ＝ .
二、填空题(共 4小题,每小题 5分,共 20分)
13. 48
【解析】 由 消去 y，得 x2－10x＋9＝0，
设 B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解得 或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形 APQB的面积为 48.
14.
∪
【解析】令 g(x)＝f(x)－k，所以 g(x)只有一个零点，
因为 g′(x)＝f′(x)＝x2－4，
所以令 g′(x)＝0，解得 x＝2或 x＝－2，
g′(x)，g(x)随 x的变化情况如下表：
g(x)有且仅有一个零点等价于 g(－2)＜0或 g(2)＞0，
所以－
＋8＋2－k＜0或
－8＋2－k＞0，解得 k＞
或 k＜－
.
故答案为 k＞
或 k＜－
.
15. p∨q， p
【解析】 p为假命题，q为真命题，故 p∨q为真命题， p为真命题．
16. ①③
【解析】 ②l1⊥l2⇔a＋3b＝0.
三、解答题(共 6小题,共 70分)
17.解 (1)因为命题 p为真，则－2t2＋7t－5>0，
解得 10)，
由 f′(x)<0，得 2x2－x－1>0，即 x>1或 x＜－
.
又 x>0，所以 x>1.
所以 f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)令 g(x)＝f(x)－h(x)＝lnx－ax2＋(1－2a)x＋1，
所以 g′(x)＝
－2ax＋(1－2a)
＝
.
当 a≤0时，因为 x>0，所以 g′(x)>0，
所以 g(x)在(0，＋∞)上是单调递增，
又因为 g(1)＝ln 1－a×12＋(1－2a)＋1＝－3a＋2>0，
所以关于 x的不等式 f(x)≤(a－1)x2＋2ax－1不能恒成立；
当 a>0时，g′(x)＝
＝－
，
令 g′(x)＝0，得 x＝
，
所以当 x∈
时，g′(x)>0；
当 x∈
时，g′(x)<0，
因此函数 g(x)在
上单调递增，在
单调递减．
故函数 g(x)的最大值为 g
＝
－ln 2a.
令 F(a)＝
－ln 2a，
因为 F
＝
>0，F(1)＝
－ln 2<0，
又 F(a)在 a∈(0，＋∞)上单调递减．
所以当 a≥1时，F(a)<0，
所以整数 a的最小值为 1.
20.解 (1)由 e＝
，可得
＝
，
所以 a2＝3b2，
故双曲线方程可化为
－
＝1.
将点 P( ，1)代入双曲线 C的方程，
解得 b2＝1，所以双曲线 C的方程为
－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程，
ൌ
ൌ
⇒(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由题意得，
Δ ൌ 香
解得－10)的准线方程为 x＝－ ，
于是 4＋ ＝5，p＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x.
(2)由题意得 A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又 F(1,0)，所以 kAF＝ ，
则 FA的方程为 y＝ (x－1)．
因为 MN⊥FA，所以 kMN＝－ ，
则 MN的方程为 y＝－ x＋2.
解方程组 得
所以 N.
22. (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝lnx－
ax2，
∴f′(x)＝
－ax＝
，
由于直线 x－2y＋1＝0的斜率为
，
∴
×
＝－1，∴a＝
.
(2)由(1)知，f′(x)＝
－ax＝
，
当 a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a＞0时，由 f′(x)＞0，得 x＜
，由 f′(x)<0，得 x＞
，
∴f(x)在
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述：当 a≤0时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当 a＞0时，函数 f(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(3)由(2)可知，
当 a＜0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(x)min＝－
a>0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点．
当 a＝0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－
a＝0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点．
当 a＞0时，①若
≤1即 a≥1时，f(x)在区间[1，e2]上单调递减，
∵f(1)＝－
a＜0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点，
②若 1＜
0，即 a<
e
时，由 f(e2)＝2－
ae4>0得 a<
e
，此时 f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，
由 f(e2)＝2－
ae4≤0得 a≥
e
，此时 f(x)在区间[1，e2]上有两个零点，
③若
≥e2即 0＜a≤
e
时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－
a＜0，f(e2)＝2－
ae4＞0，
∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，
综上所述，当 0≤a＜
e
或 a＝
e
时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；
当
e
≤a＜
e
时，f(x)在区间[1，e2]上有两个零点；
当 a＜0或 a＞
e
时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点．
