2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】把条件与结论位置互换并都进行否定．‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逆否命题，属于基础题．‎ ‎2．实数的取值如下表所示，从散点图分析，y与x有较好的线性相关关系，‎ 则y关于x的回归直线一定过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出，由回归直线过点()求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ 回归直线一定过中心点.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点，‎ ‎3．将三进制数转化为二进制数，下列选项中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先把三进制数化为十进制，再由十进制化为二进制．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎69÷2＝34…1‎ ‎34÷2＝17…0‎ ‎17÷2＝8…1‎ ‎8÷2＝4…0‎ ‎4÷2＝2…0‎ ‎2÷2＝1…0‎ ‎1÷2＝0…1‎ 故：69（10）＝1000101 （2）‎ 故：2120（3）＝69（10）＝1000101 （2），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查进位制之间的相互转化．掌握进位制之间的关系是解题关键．‎ ‎4．椭圆的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化方程为椭圆的标准方程，然后可得，从而求得，得焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，，，，而焦点在轴上，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质，掌握椭圆标准方程是解题关键．‎ ‎5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：‎ 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入略有增加．‎ B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上．‎ C．新农村建设后，养殖收入不变．‎ D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，通过选项逐一分析即可 ‎【详解】‎ 设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，‎ 对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；‎ 对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；‎ 对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；‎ 对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计知识，考查统计图表的认识，认真阅读题意是解题关键．题中有新农村建设后经济收入增加了一倍，即收入总量翻番了，即使所占比例相同，但收入也翻番了．‎ ‎6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为7，3，则输出的等于（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化可得．‎ ‎【详解】‎ 当可得：‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，满足条件，退出循环体，‎ 输出，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，考查循环结构，解题模拟运行即可得结论．‎ ‎7．圆上总存在两个不同点关于直线对称，则实数m等于（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆心在已知直线上可求解．‎ ‎【详解】‎ 由条件知圆心在直线上，即，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的对称性．经过圆心的所有直线都是圆的对称轴，圆的对称轴一定经过圆心．‎ ‎8．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出不等式的解集，根据集合的包含关系选择．‎ ‎【详解】‎ ‎．由题意知是目标选项的真子集，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件与集合包含关系的联系是解题关键．‎ ‎9．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成．在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P，则P等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设四分之一圆半径为，求出整个图形的面积和阴影部分面积后可求概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，‎ 整个图形面积 阴影部分的面积，‎ 由几何概型知，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型．属于基础题．‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为，以为圆心的圆与一条渐近线交于A、B两点，,相交弦AB长为b，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨取一三象限的渐近线，作于，则是中点．把且两种不同方法表示得的关系式后可求得离心率．‎ ‎【详解】‎ 本题主要考查双曲线的几何性质．‎ 点到渐近线的距离，‎ 因为，且，所以，‎ 作于，则是中点．‎ 又，所以，‎ 从而，即，‎ 离心率，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是寻找到关于的等式．本题中通过取中点，用两种不同方法表示出得到一个等式．‎ ‎11．已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．6 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，， ，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解．‎ ‎【详解】‎ 圆关于直线对称的曲线 N点关于直线的对称点在圆上，‎ 则有，故 当M，P，三点共线时，距离和最小．‎ 从而转化成求M，两点距离的最小值．‎ 而，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值．‎ ‎12．已知函数，，对，使得，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件求出的值域和的值域，题意相当于，由此可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，当时，，即值域为，‎ 是增函数，时，，即的值域为，‎ ‎∵对，使得，‎ ‎∴，从而有，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用．解题关键是总量转化为两个函数的值域之间的包含关系．‎ 二、填空题 ‎13．掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，，则向量与共线的概率为_______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】首先求出向量共有多少个，然后求出与平行的向量有几个，再由概率公式计算概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量，共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：，，共有3种结果，所以向量与共线的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型．关键是求出基本事件的个数．‎ ‎14．方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由可得．也可化为双曲线的标准方程再得结论．‎ ‎【详解】‎ 化成标准方程形式，由 可得，故．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程形式．掌握双曲线的标准方程是解题关键．‎ ‎15．已知圆：，圆：，则圆与的公切线有_______________条．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】先判断两圆的位置关系，然后可得公切线条数．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，两圆外切，从而公切线有3条．‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的公切线，本质考查圆与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎16．命题“，有成立”是假命题，则实数m的取值范围是________________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】写出原命题的否定，由这个否定是真命题求解．分离参数后转化为求函数最值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式恒成立，‎ 对恒成立，‎ 令，令，‎ 则，，由对勾函数性质得，从而．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由特称命题的真假求参数范围，在命题为假时可利用其否定命题为真命题求解．根据条件知道原命题的否定为真命题．‎ 三、解答题 ‎17．已知p：实数x满足不等式，q：实数x满足不等式．‎ ‎（1）当时，为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）分别解二次不等式和分式不等式得的范围，求它们的交集可得结论；‎ ‎（2）求出命题对应的集合，再求出对应的集合，由可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，p：实数x满足 ‎ q：x满足，即满足； ‎ ‎∵为真命题，∴、都为真命题， ‎ 于是有，即，故． ‎ ‎（2）记，，或 ‎ 由是的充分不必要条件知ÜB，从而有或 ,‎ 又 故 ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，考查充分必要条件．掌握复合命题真值表、充分必要条件与集合包含关系是解题关键．‎ ‎18．十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念．某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y（单位：平方公里）的数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 绿化面积y ‎2.8‎ ‎3.5‎ ‎4.3‎ ‎4.7‎ ‎5.2‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积．‎ ‎（参考公式：线性回归方程：，，为数据平均数）‎ ‎【答案】（1）；（2）预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里．‎ ‎【解析】（1）根据所给数据，所给公式计算系数得回归直线方程；‎ ‎（2）代入回归方程可估算结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ ‎，，‎ 从而回归方程为； ‎ ‎（2）到2025年初时，即，解得 故预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查学生的运算求解能力．‎ ‎19．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：‎ ‎（1）估计全体考生成绩的中位数；‎ ‎（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．‎ ‎【答案】（1）17250；（2）．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图中把频率（矩形面积）等分的点对应的成绩为中位数．‎ ‎（2）由频率分布直方图中的频率求出从三组中各抽取的人数，并编号，用列举法写出任取2人的事件，并列出来自同一组的事件，计算个数后可求概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，‎ 从而有，解得 ‎ 故全体考生成绩的中位数约为17250． ‎ ‎（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为，第4组学生为，第5组学生为；‎ 从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：‎ ‎ ‎ 其中事件A共有4种，为 ‎ 由古典概型公式得 故这两名学生均来自同一组的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，考查古典概型，解决古典概型的基本方法是列举法．‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为，的周长为6，离心率等于．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线l交椭圆C于M、N两点，且,求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由的周长为6，得，再由离心率得，求得 后可得，从而得椭圆标准方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆C于，直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得，代入所得中可求得，得直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件知可得： ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）显然直线l的斜率存在，且斜率不为0，‎ 设直线交椭圆C于 由 ‎ 当时，‎ 有，， ‎ 又条件可得，,即 ‎ 从而有 ‎ ‎ 解得，故且满足 ‎ 从而直线方程为或 ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题中采取的是设而不求思想，即设交点坐标为，设出直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题设中其他条件后求得相应参数．‎ ‎21．已知圆C过点和点,且圆心C在直线上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）动点P在直线上，从P点引圆C的两条切线，切点分别为M、N，求四边形PMCN面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）求出线段的中垂线方程，由中垂线和已知直线相交求出圆心坐标，再求出半径可得圆的方程；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离即为的最小值，也即得所求四边形面积最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）线段AB的中垂线方程为： ‎ 由得圆心 ‎ 圆C的半径 ‎ 从而圆C的方程为 ‎ ‎（2）‎ 由切线性质知，而 故 ‎ 的最小值即为点C到直线的距离，‎ 点C到直线的距离 于是 ‎ 从而，‎ 故四边形PMCN的面积的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．掌握切线长公式是解题关键．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，抛物线C关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2） 过点的直线交抛物线于M、N两点．是否存在定直线，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率，，成等差数列．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在定直线，.‎ ‎【解析】（1）设抛物线为，代入点的坐标可得；‎ ‎（2））假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，设MN：交抛物线于、，代入抛物线方程应用韦达定理得，计算，，，并计算，代入并化简，由为恒成立的，可求得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上，‎ 从而有，故抛物线方程为 ‎ ‎（2）假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，‎ 由条件知直线MN的斜率不等于0，‎ 设MN：交抛物线于、，‎ 由可得：‎ 从而有 ‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 若成等差数列，则 即 化简有 ‎ 从而有，即 故存在定直线，‎ 使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线斜率成等差数列 ‎【点睛】‎ 本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线相交问题，考查存在性问题．存在性问题属于探索性问题．解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.‎ (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；‎ (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；‎ (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.‎