2017-2018学年江苏省启东中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年江苏省启东中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷 ‎(满分160分，考试时间120分钟) ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.函数的导数是 ▲ ．‎ ‎2.若，则＝ ▲ ．（用数字作答）‎ ‎3.设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ▲ ． ‎ ‎4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ．‎ ‎5.函数的单调减区间是 ▲ ．‎ ‎6.函数的极大值是 ▲ ．‎ ‎7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．‎ ‎8.设函数的导函数为，若，则＝ ▲ ．‎ ‎9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）‎ ‎10.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎11.已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是 ▲ ．‎ ‎12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示） ▲ ．‎ 13. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是 ▲ ． ‎ 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为 ▲ ． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）‎ ‎（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ ‎ ‎（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．‎ ‎(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；‎ ‎(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.‎ ‎(1) 求的极值；‎ ‎(2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知函数＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．‎ ‎（1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围；‎ ‎（2）求在区间上的最值；‎ ‎（3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为‎2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域 ；‎ ‎（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2)若函数有两个极值点，且,求证:；‎ ‎(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实 数的取值范围．‎ 江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试 高二理科数学试卷参考答案 ‎(满分160分，考试时间120分钟) 命题人：龚凯宏 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.函数的导数是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎2.若，则＝ ▲ ．（用数字作答）‎ 答案：55‎ ‎3.设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎5.函数的单调减区间是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎6.函数的极大值是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．‎ 答案： ‎ ‎8.设函数的导函数为，若，则＝ ▲ ．‎ 答案：105‎ ‎9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）‎ 答案：300‎ ‎10.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎11.已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示） ▲ ．‎ 答案：‎ 13. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是 ▲ ． ‎ 答案：‎ 14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为 ▲ ． ‎ 答案： ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）‎ ‎（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？ ‎ ‎（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 。‎ 其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．‎ ‎(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；‎ ‎(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．‎ 解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，‎ 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.…………2分 ‎(1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含15个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝ …………………………9分 ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤5,0≤b≤4}．‎ 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤5，0≤b≤4，a≥b}，概率为两者的面积之比，‎ 所以所求的概率为P(A)＝ …………………………14分17．（本小题满分14分）‎ 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.‎ ‎(1) 求的极值；‎ ‎(2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围．‎ 解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a. ………………2分 由题知f′(0)＝－＋a＝，‎ 所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝‎ 令f′(x)＝0，得x＝. …………………………4分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，2)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎  ‎1‎  所以f(x)在x＝处取得极大值，无极小值． …………………………7分 ‎(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k＋2)x，‎ g′(x)＝＋(k＋2)， …………………………9分 由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，‎ 即k≥－2在(－∞，1]上恒成立，‎ 因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜≤1，所以k≥－1.‎ 故实数k的取值范围是[－1，＋∞)． …………………………14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知函数＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．‎ ‎（1）求过曲线C上任意一点的切线倾斜角的取值范围；‎ ‎（2）求在区间上的最值；‎ ‎（3）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ 解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，…………2分 即过曲线C上任意一点切线倾斜角的取值范围是 …………4分 ‎（2）的最大值为；的最小值为 ‎ …………………………9分 ‎(3)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，‎ 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，…………………………12分 解得－1≤k＜0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． …………………………16分 ‎ 19．（本小题满分16分）‎ 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为‎2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且 ‎．为了实现“以展养展”，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．‎ ‎【解】（1）因为∥，所以，‎ ‎ 在△中，，，百米，‎ ‎ 由正弦定理得， …………………………4分 ‎ 得 km，百米．…………………………5分 ‎ 又圆弧长为 百米．‎ ‎ 所以 ‎ ，．…………………………7分 ‎（2）记，‎ ‎ 则，………………8分 ‎ 令，得． ……………………………………………10分 ‎ 当x变化时，，的变化如下表：‎ x ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 递增 极大值 递减 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．‎ ‎ 即． ………………………………………………14分 答：（1）y关于x的函数解析式，定义域为 ： ；‎ ‎ （2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2)若函数有两个极值点，且,求证:；‎ ‎(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实 数的取值范围．‎ 解：‎ ‎(1)当时,, …………………………2分 令或,令,‎ 所以的递增区间为和,递减区间为.…………………………4分 ‎(2)由于有两个极值点,‎ 则在上有两个不等的实根,‎ ‎ …………………………7分 ‎ 设，‎ 所以 所以在上递减，所以即.‎ ‎ …………………………10分 ‎ ‎ (3)由题意知：只需成立即可.因为,‎ 所以，因为，所以，而，‎ 所以，所以在递增，‎ 当时，.‎ 所以在上恒成立，………………………12分 令，则在上恒成立，‎ ‎，又 当时，,在递减,当时，,‎ 所以，所以；‎ 当即时，‎ ‎①即时，在上递增，‎ 存在，使得，不合；‎ ‎②即时，，在递减,‎ 当时，,所以，‎ 所以综上, 实数的取值范围为.………………………16分