2017-2018学年山东省寿光现代中学高二下学期6月月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山东省寿光现代中学高二下学期6月月考数学（理）试题 Word版

2017-2018 学年山东省寿光现代中学高二下学期 6 月月考理 科数学试题 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位，复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则下列命题中为真命 题的是（ ） A． B． C． D． 4.将参数方程 （ 为参数）化为普通方程是（ ） A． B． C． D． 5.在极坐标系中，过点 且与极轴平行的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 6.观察下列各式： ， ， ， ， ，…， 则 （ ） A．18 B．29 C．47 D．76 7.下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8.下列关于函数 的判断正确的是（ ） ① 的解集是 ； i 1z i= + 2 2z z + = 1 i− − 1 i− + 1 i+ 1 i− { | 1 2}A x x= − < ≤ { | 0}B x x= < A B = { | 1}x x < − { | 2}x x ≤ { | 1 0}x x− < < { | 0 2}x x< ≤ p x R∀ ∈ 2 3x x< q x R∃ ∈ 3 21x x= − p q¬ ∧ p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬ 2 2 2 sin sin x y θ θ  = + = θ 2y x= − 2y x= + 2(2 3)y x x= − ≤ ≤ 2(0 1)y x y= + ≤ ≤ (2, )3 π cos 3ρ θ = sin 3ρ θ = 3 cosρ θ= 3sinρ θ= 1a b+ = 2 2 3a b+ = 3 3 4a b+ = 4 4 7a b+ = 5 5 11a b+ = 8 8a b+ = 1 2( 0)x xx + ≥ ≠ 2 2 1 1( )1x x Rx + ≥ ∈+ 2 1 2 ( )x x x R+ ≤ ∈ 2 5 6 0( )x x x R+ + ≥ ∈ ( ) ( )22 xf x x x e= − ( ) 0f x > { | 0 2}x x< < ② 是极小值， 是极大值； ③ 没有最小值，也没有最大值. A．①③ B．①②③ C．② D．①② 9.直线 与曲线 第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C．2 D．4 10.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 11.利用数学归纳法证明“ ， ”时，从” ”变到“ ”时，左边应增加的因式是（ ） A． B． C． D． 12.已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.若复数 是纯虚数，则实数 ． 14.观察下列式子： ， ， ，……，根据上述 规律，第 个不等式应该为 ． 15.设实数 ， ， ， 满足 ， ，那么 的最大值 是 ． 16.已知函数 在其定义域上不单调，则 的取值范围 是 ． ( )2f − ( )2f ( )f x 4y x= 3y x= 2 2 4 2 x y 7 0 3 1 0 2 5 0 x y x y x y + − ≤  − + ≤  − − ≥ yz x = 3 4 4 3 5 2 2 5 ( 1)( 2)( 3) ( )n n n n n+ + + ⋅⋅⋅ + 2 1 3 (2 1)n n= × × ×⋅⋅⋅× − *n N∈ n k= 1n k= + 2 1k + 2 1 1 k k + + 2 3 1 k k + + (2 1)(2 2) 1 k k k + + + R ( )y f x= ( )'f x ( ) ( )'f x f x< ( )0 2f = ( ) 2x f x e > ( ),0−∞ ( )0,+∞ ( ),2−∞ ( )2,+∞ ( )( )3 2i a i− + a = 2 1 31 2 2 + < 2 2 1 1 51 2 3 3 + + < 2 2 2 1 1 1 71 2 3 4 4 + + + < n x y m n 2 2 1x y+ = 2 2 3m n+ = mx ny+ ( ) ( )1 lnf x x a x a Rx = − + ∈ a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知命题 ： 在 上有解，命题 ：函数 的定义域为 . （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是假命题，求实数 的取值范围. 18.已知函数 ， . （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围. 19.以平面直角坐标系的坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的 长度为长度单位建立极坐标系.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 、 两点，求 . 20.设函数 . （1）解不等式 ； （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围. 21.（1）已知 ， ，求证： . （2）设 为实数， .求证： 与 中至少有一个不小于 . 22.设函数 ， . （1）讨论函数 的单调性； （2）当函数 有最大值且最大值大于 时，求 的取值范围. p 2 4 0x x a− + = [1,4]x∈ q 2( ) lg( 4)f x x ax= − + R p a p q∨ a ( ) 2 lnf x x ax x= + − a R∈ 1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x [1,3] a O x l 2 3 1 2 x t y t = −  = − + t C 2sin 4cosρ θ θ= C l C A B AB ( ) 1 2f x x x= − + − ( ) 5f x x≥ − 1( ) 1f x a ≥ − x R∀ ∈ a , ,a b c R+∈ 1a b c+ + = 1 1 1( 1)( 1)( 1) 8a b c − − − ≥ a 2( )f x x ax a= + + (1)f (2)f 1 2 ( ) ( )ln 1f x x a x= − + ( )a R∈ ( )f x ( )f x 3 1a − a 理科数学答案 一、选择题 1-5: CBACB 6-10: CBDDA 11、12：DB 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.【解析】（1）设 ，对称轴为 ， 若存在一个 满足条件，则 ， ，解得 ， 若存在两个 满足条件，则 ， ，解得 ， 若 是真命题，则实数 的取值范围为 . （2）若 为假命题，则由（1）可得 或 ， 若 为假命题，则由 得 或 ， 若 是假命题，则 ， 均为假命题， 故满足条件的实数 的取值范围为 . 18.【解析】（1）当 时， ，所以 ， ， 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （2）因为函数在 上是减函数，所以 在 上 恒成立. 做法一：令 ，有 ，得 ，故 . ∴实数 的取值范围为 . 做法二：即 在 上恒成立，则 在 上恒成立， 2 3 − 2 2 2 1 1 1 2 11 2 3 ( 1) 1 n n n ++ + +⋅⋅⋅+ <+ + 3 2a > 2( ) 4g x x x a= − + 2x = [1,4]x∈ (1) 0g < (4) 0g ≥ 0 3a≤ < [1,4]x∈ (1) 0g ≥ (2) 0g ≤ 3 4a≤ ≤ p a [0,4] p 0a < 4a > q 2 16 0a∆ = − ≥ 4a ≤ − 4a ≥ p q∨ p q a ( , 4] (4, )−∞ − +∞ 1a = ( ) 2 lnf x x x x= + − ( ) 1' 2 1f x x x = + − ( )' 1 2f = ( )1 2f = ( )y f x= ( )( )1, 1f 2 0x y− = [1,3] ( ) 21 2 1' 2 0x axf x x a x x + −= + − = ≤ [1,3] ( ) 22 1h x x ax= + − ( ) ( ) 1 0 3 0 h h ≤ ≤ 1 17 3 a a ≤ − ≤ − 17 3a ≤ − a 17, 3  −∞ −   22 1 0x ax+ − ≤ [1,3] 1 2a xx ≤ − [1,3] 令 ，显然 在 上单调递减，则 ，得 . ∴实数 的取值范围为 . 19.【解析】（1）由 ，即 ，得曲线 的直角坐标方 程为 . （2）将 的参数方程代入 ，整理得 ， ∴ ， ， ∴ . 20.【解析】（1）因为 ， 当 时 ，解得 ；当 时， ，无解； 当 时， ，解得 . 所以不等式 的解集为 . （2）依题意只需 ，而 . 所以 ，所以 或 ，故实数 的取值范围是 . 21.（1）因为 ，所以 ，因此 当且仅当 等 号成立， 当且仅当 等号成立， ，当且仅当 等号成立， 所以 ，当且仅当 等号成立，因为 ，所以 ，所以 . （2）因为 ，所以 ， . ( ) 1 2h x xx = − ( )h x [1,3] ( ) ( )min 3a h x h≤ = 17 3a ≤ − a 17, 3  −∞ −   2sin 4cosρ θ θ= 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= C 2 4y x= l 2 4y x= 24 8 7 0t t+ − = 1 2 2t t+ = − 1 2 7 4t t = − ( )2 2 1 23 2AB t t= − + − ( )2 1 2 1 213 4t t t t= × + − 13 4 7 143= × + = 3 2 , 1 ( ) 1,1 2 2 3, 2 x x f x x x x − ≤ = < <  − ≥ 1x ≤ 3 2 5x x− ≥ − 2x ≤ − 1 2x< < 1 5 x≥ − 2x ≥ 2 3 5x x− ≥ − 8 3x ≥ ( ) 5f x x≥ − 8( , 2] [ , )3 −∞ − +∞ min 1( ) 1f x a ≥ − ( ) 1 2f x x x= − + − ( 1) ( 2) 1x x≥ − − − = 1 1 1a − ≤ 0a < 1 2a ≥ a 1( ,0) [ , )2 −∞ +∞ 1a b c+ + = 1 1 1( 1)( 1)( 1)a b c − − − ( 1)( 1)( 1)a b c a b c a b c a b c + + + + + += − − − ( ) ( ) ( )b c a c a b a b c + + += ( )( )( )b c a c a b abc + + += 2 0b c bc+ ≥ > b c= 2 0a c ac+ ≥ > a c= 2 0a b ab+ ≥ > a b= ( )( )( ) 8b c a c a b abc+ + + ≥ a b c= = 0abc > ( )( )( ) 8b c a c a b abc + + + ≥ 1 1 1( 1)( 1)( 1) 8a b c − − − ≥ 2( )f x x ax a= + + (1) 1 2f a= + (2) 4 3f a= + 假设 ， 都小于 ，即 ，即 ， ， 所以假设不成立，即原命题成立. 22.（1）∵ ，∴ . ①当 ，即 时， ，∴函数 在 上单调递增. ②当 ，即 时，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. 综上，当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）由（1）得若 ，则 单调递增，无最值. 若 ，则当 时， 取得最大值，且 . ∵函数 的最大值大于 ，∴ ，即 ， 令 ，则 在 上单调递增， 又 ，∴当 时 ， 故 的取值范围为 . (1)f (2)f 1 2 11 2 2 14 3 2 a a  + <  + < 3 1 4 4 3 7 2 6 a a − < < − − < < − a∈∅ ( ) ( )ln 1 ( 0)f x x a x x= − + > ( ) ( )1 11'( ) 1 a xf x ax x − += − + = 1 0a + ≤ 1a ≤ − ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞ 1 0a + > 1a > − ( )' 0f x = 1 1x a = + 10 1x a < < + ( )' 0f x > ( )f x 1 1x a > + ( )' 0f x < ( )f x 1a ≤ − ( )f x ( )0,+∞ 1a > − ( )f x 10, 1a    +  1 ,1a  +∞ +  1a ≤ − ( )f x 1a > − 1 1x a = + ( )f x ( )max 1 1ln 11 1f x f a a  = = − + +  ( )f x 3 1a − 1ln 1 3 11 aa − > −+ ( )ln 1 3 0a a+ + < ( ) ( ) ( )ln 1 3 1g a a a a= + + > − ( )g a ( )1,− +∞ ( )0 0g = 1 0a− < < ( ) ( )0 0g a g< = a ( )1,0−