2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∪B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用集合的并集的定义与运算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜1}，‎ 根据集合的并集的运算可得A∪B={x|x＞-1}=（-1，+∞）， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集的概念与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2．是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【详解】‎ 因为由，由推不出，有可能，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.‎ ‎4．已知向量，且，则实数（ ）‎ A．3 B．1 C．4 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】,根据得,解得,故选A.‎ ‎5．已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，对选项逐一排除，可得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，显然，当时，符合题意，其它选项不符合.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值.属于基础题.‎ ‎6．直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦长为（ ）‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆（x–2）2+（y–1）2=16，∴圆心（2，1），半径r=4，圆心到直线l：3x+4y+5=0的距离d==3，∴直线3x+4y+5=0被圆（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦长l=2=2．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．‎ ‎7．已知在极坐标系中，点A，B，O(0，0)，则△ABO为(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】，可得，∴， 又，∴为等腰直角三角形，故选D.‎ ‎8．下列函数求导运算正确的个数为(　　)‎ ‎①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：,所以正确的有②③.‎ 考点：函数导数的运算.‎ ‎9．已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3），输出，即不满足循环条件，‎ 所以①处应填3。故选B。‎ ‎10．已知，在⊙O： 上任取一点P，则满足的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为OA=2,OP=1,所以当时∠，所以满足的概率为=，选C.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎11．已知，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得，利用“乘1法”与基本不等式的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，可得：，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 则的最小值为。‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式的应用，乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”．属于中档题．‎ ‎12．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知，双曲线的右焦点，关于原点的对称点为，‎ 则，‎ 四边形为平行四边形 则，‎ 由，根据椭圆的定义 ‎，，‎ 在中，，，‎ 则，整理得 则双曲线的离心率 故选 点睛：本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知，四边形为平行四边形，利用双曲线的定义和性质，求得，在在中，利用勾股定理即可求得，根据双曲线的离心率公式即可求得答案。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_________________________‎ ‎【答案】(-1,2) .‎ ‎【解析】分析：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．‎ 详解：由，解得﹣1＜x＜2．‎ ‎∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）．‎ 故答案为：（﹣1，2）．‎ 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎14．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；‎ 由得，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大；‎ 由，解得，即，‎ 代入目标函数得，‎ 即目标函数的最大值为6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线为参数）上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，‎ 则到直线的距离，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1，则数列{f（3n）}的前2019项和为______．‎ ‎【答案】31010-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得为偶数时，求得；为奇数时，求得，把数列的前2019项和转化为等比数列求和，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，当为偶数时，，当为奇数时，，‎ 则 ‎。‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为 ，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，的面积为1，求边.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转 化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵bcosA+asinB=0‎ ‎∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0‎ ‎∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0‎ ‎∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π ‎∴‎ ‎（2）∵，S△ABC=1，∴‎ 即：‎ 又 由余弦定理得：‎ 故：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．‎ ‎18．已知等比数列的各项为正数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证数列的前项和＜2．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先根据条件列关于首项与公比的方程组，解出首项与公比，再代入等比数列通项公式即可，（2）先根据对数性质化简得，再根据裂项相消法求数列的前项和，最后根据n取值范围证不等式.‎ 试题解析：（1）设数列N的公比为q，‎ ‎∵9a32=a2a6，即9a22q2=a2•a2q4，解得q2=9．‎ 又q＞0，则q=3， ‎ ‎∵a3=2a2+9，即9a1=6a1+9，解得a1=3， ‎ ‎∴． ‎ ‎（2）a1a2…an=31+2+3+…+n=3， ‎ ‎∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=log3（a1a2…an）=， ‎ ‎∴．‎ ‎∴<2．‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎19．2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎80‎ 约定：此单位45岁～59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）青年观众为18人，中年观众12人；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分层抽样原理计算抽出的人数即可；‎ ‎（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； ‎ ‎（3）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；‎ ‎（2）2×2列联表如下：‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 中年 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ 总计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ 计算观测值，‎ ‎∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；‎ ‎（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，‎ 其余两人记为，则从中选两人，可得 ‎ 共有如下15种情况,‎ 抽出的2人都能胜任才艺表演的有,共有6种情况，‎ 所以所求的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样原理与列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为是曲线上的一点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线交于A、B两点，且的面积为16，求的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入得，再根据抛物线的定义可得，即可求得抛物线的方程；‎ ‎（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，将代入，得，‎ 又，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为。‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线，‎ 由，得，所以，‎ 又由，解得，‎ ‎∴直线方程为，所以直线恒过定点，‎ 原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 所以，解得，‎ 所以直线的方程为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎ ‎21．已知函数（）.‎ ‎（1）求在上的单调性及极值；‎ ‎（2）若，对任意的，不等式都在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在递减， 递增，极小值，无极大值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用求导求函数的单调性和极值. （2）转化成证明g(x)的最大值小于零，在上， 有解，再证明，只需存在使得即可，‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ， ，‎ 令，∴‎ ‎∴在递减， 递增，‎ ‎∴极小值，无极大值.‎ ‎（2）因为，令， ，‎ 则为关于的一次函数且为减函数，‎ 根据题意，对任意，都存在，使得成立，‎ 则在上， 有解，‎ 令，只需存在使得即可，‎ 由于，‎ 令，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增， ，‎ ‎①当，即时， ，即，‎ ‎∴在上单调递增，∴，不符合题意.‎ ‎②当，即时， ， ，‎ 若，则，所以在上恒成立，即恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴存在使得，符合题意.‎ 若，则，∴在上一定存在实数，使得，‎ ‎∴在上恒成立，即恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴存在使得，符合题意.‎ 综上所述，当时，对任意的，都存在，使得成立.‎ 点睛：本题的第（2）问中， ， .在这里，利用了反客为主的技巧.一般情况下，把x看作自变量，如果这样，这里的化简转化就比较复杂.由于已知b的范围，所以可以看作是b的一次函数，问题迎刃而解.大家要理解掌握这个技巧，并注意灵活运用.‎ ‎22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的极坐标方程是．射线OT：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可；‎ ‎(2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数得曲线的普通方程为，‎ 又，，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（2）由，‎ 故射线与曲线的交点的极坐标为；‎ 由，‎ 故射线与直线的交点的极坐标为，‎ ‎∴.=12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．设函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）不等式的解集为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围.‎ 试题解析：（1）当时，，‎ 无解，‎ ‎，‎ ‎3分 综上，不等式的解集为. 5分 ‎（2），转化为，‎ 令，‎ 因为a>0,所以， 8分 在a>0下易得,令得10分 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.‎