2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题5 第3讲　数列的综合问题

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题5 第3讲　数列的综合问题

专题复习检测 A卷 ‎1．等比数列{an}中，若a1＝1，a10＝2，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(　　)‎ A．2　 B．4　　‎ C．5　 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵{an}为等比数列，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2.∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1a2…a10)＝log225＝5.故选C．‎ ‎2．(2018年四川成都模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n的值为(　　)‎ A．2　 B．3　　　‎ C．4　 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵＝a1＋d，∴是首项为a1，公差为的等差数列．∵a1＝9，－＝－4，∴－4＝4×，解得d＝－2.∴Sn＝9n－×2＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25.∴当n＝5时，Sn取得最大值．‎ ‎3．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝(　　)‎ A．(n－1)2n　 B．(n－1)3n ‎ C．n·2n　 D．n·3n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知a1＝f(2)＝2，an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，则＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝n，则an＝n·2n.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2)　 B．(－∞，3)‎ C．(－∞，4)　 D．(－∞，5)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵Sn＝3n(λ－n)－6，∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1.两式相减，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)为单调递减数列，∴an＞an＋1，且a1＞a2.∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)且λ＜2，化为λ＜n＋2(n＞1)且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是(－∞，2)．故选A．‎ ‎5．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 ‎ ‎000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，则n的值为(　　)‎ A．19　 B．20　　　‎ C．21　 D．22‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知每层的建筑费用构成等差数列，设为{an}，则n层的建筑总费用为Sn＝600×103＋(600＋40)×103＋…＋[600＋40(n－1)]×103＝(2n2＋58n)×104，所以每平方米的平均综合费用为＝10≥10＝1 380元，当且仅当2n＝，即n＝20时等号成立．‎ ‎6．在等比数列{an}中，an∈R，a3，a11是方程3x2－25x＋27＝0的两根，则a7＝________.‎ ‎【答案】3　 ‎ ‎【解析】由题意，得∴a3＞0，a11＞0，且a＝a3a11＝9，∴a7＝3.‎ ‎7．(2018年江西南昌模拟)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列．若a1a6a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是________．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】由a1a6a11＝3，得a＝()3.由b1＋b6＋b11＝7π，得3b6＝7π.∴a6＝，b6＝.‎ ‎∴tan ＝tan ＝tan ＝‎ tan＝tan＝－tan ＝－.‎ ‎8．(2019年湖南长沙模拟)设数列{an}的前n项和是Sn，若点An在函数f(x)＝－x＋c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1＝3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝aan，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎【解析】(1)由题意得＝－n＋c，即Sn＝－n2＋cn.‎ 因为a1＝3，所以c＝4，故Sn＝－n2＋4n.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)．‎ 又a1＝3满足上式，所以an＝－2n＋5.‎ ‎(2)由(1)知bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5，‎ 所以Tn＝＝2n2－3n.‎ 所以Tn的最小值是T1＝－1.‎ B卷 ‎9．(2019年安徽合肥模拟)如图所示是毕达哥拉斯树(Pythagoras Tree)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为(　　)‎ A．　 B．　　‎ C．　 D． ‎【答案】A ‎【解析】设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.正方形边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝.故选A．‎ ‎10．(2019年浙江湖州模拟)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)‎ A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 ‎【答案】D ‎【解析】∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，…，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等比数列．‎ ‎11．设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎【答案】n2‎ ‎【解析】由题意，可知Pn＋1(n＋1，an＋1)，所以PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)．所以an＋1－an＝2.所以数列{an}是以2为公差的等差数列．又a2＋a4＝10，所以a1＝1，an＝2n－1，Sn ‎＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.‎ ‎12．(2019年天津模拟)设函数fn(x)＝x－(3n－1)x2(其中n∈N*)，区间In＝{x|fn(x)＞0}．‎ ‎(1)定义区间(α，β)的长度为β－α，求区间In的长度；‎ ‎(2)把区间In的长度记作数列{an}，令bn＝an·an＋1，‎ ‎①求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎②是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】(1)由fn(x)＞0，得x－(3n－1)x2＞0，‎ 解得0＜x＜，即In＝.‎ 所以区间的长度为－0＝.‎ ‎(2)由(1)知an＝.‎ ‎①∵bn＝an·an＋1＝，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝.‎ ‎②由①知T1＝，Tm＝，Tn＝.‎ 假设存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列，则T＝T1Tn，化简得＝.‎ ‎∴(－3m2＋6m＋2)n＝5m2.(*)‎ 当m＝2时，(*)式可化为2n＝20，∴n＝10.‎ 当m≥3时，－3m2＋6m＋2＝－3(m－1)2＋5≤－7＜0.‎ 又∵5m2＞0，∴(*)式可化为n＝＜0，此时n无正整数解．‎ 综上，存在正整数m＝2，n＝10满足条件．‎