北京市中国人民大学附属中学2020届高三开学复习质量检测数学试题

北京市中国人民大学附属中学2020届高三开学复习质量检测数学试题

人大附中2019-2020学年度高三数学复习质量检测试题 一、选择题 ‎1.设为虚数单位，则复数的模（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据复数模的定义求解.‎ 详解：，．故选．‎ 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2.已知全集，若集合，则（ ）．‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先解一元二次不等式得集合A，再根据补集定义得结果.‎ 详解：∵集合，‎ ‎∴或，故选．‎ 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3.命题p：x>0，，则是 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：是 考点：本题考查命题的否定 点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论 ‎4.若， 是两个非零的平面向量，则“”是“”的（ ）．‎ A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，得，所以是充要条件，故选C.‎ ‎5.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可 ‎【详解】，，，，故，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题 ‎6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）‎ A. 最长棱的棱长为 B. 最长棱的棱长为 C. 侧面四个三角形都是直角三角形 D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图（如图所示）：‎ 由图可知，，，面，面，，‎ 所以，，中，，，，，‎ 所以，‎ 所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．‎ ‎2．三视图画法：‎ ‎(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；‎ ‎(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．‎ ‎7.已知函数f(x)＝|ln x|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为(　　)‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画图可知四个零点分别为－1和3，和e，但注意到f(x)的定义域为x>0，故选C.‎ ‎8.已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，由得，即，显然，因此，所以，即．选B．‎ 考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．‎ 二、填空题 ‎9.双曲线的离心率是 ；渐近线方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，所以离心率e=，渐近线方程为,‎ 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线 点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c求出离心率，渐近线方程 ‎10.若等比数列满足，且公比，则_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．‎ ‎【详解】，‎ 故答案为：20．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．‎ ‎11.在△中，，，，则 ；△的面积为_______．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得 ‎.‎ 考点：余弦定理、三角形的面积公式.‎ ‎12.已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 设圆心坐标为（a,‎2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(‎2a+1),，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为,‎ 考点：本题考查圆标准方程 点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值 ‎13.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析式子特点可知，当时，函数应该取到最值，将代入再结合辅助角公式可先求得，结合分析可知，两点关于对称中心对称，求出的通式，即可求解 ‎【详解】，由题可知 ‎，化简可得，则 ‎，且函数在上具有单调性，关于对称中心对称，故有，解得，当时，的最小值为，‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题 ‎14.函数（），已知的最小值为4，则点到直线距离的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 可采用基本不等式求得，再结合点到直线距离公式即可求解 ‎【详解】由题知，则，当且仅当时取到，则，点到直线距离 ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题 三、解答题 ‎15.设函数（）的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎（1）求函数周期及的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离为可求得参数及周期；‎ ‎（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，则，‎ ‎，图象上相邻最高点与最低点的距离为，即，解得；‎ ‎（2），令，解得 ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题 ‎16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.‎ ‎（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.‎ 用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；‎ ‎（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；‎ ‎【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：人；‎ 抽取理化历的人数为：人；抽取理化历的人数为：人；‎ ‎（2）由题可知X的取值有1，2，3，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 故随机变量X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题 ‎17.在四棱锥中，平面平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.‎ ‎（1）求证：N为PC中点；‎ ‎（2）求证：平面PCD；‎ ‎（3）T为PB中点，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面平行的性质可得，又由M为PD的中点，即可求证N为PC中点；‎ ‎（2）利用面面垂直的性质，可过点作,可证，再结合线面垂直的判定定理即可求证；‎ ‎（3）采用建系法以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的大小 ‎【详解】（1），平面，平面，平面，‎ 由线面平行的性质可得，，‎ 又，，‎ ‎ M为PD的中点，为PC的中点；‎ ‎（2）过点作交与点，‎ 又平面平面PCD，交线为，故平面，‎ 又平面，，‎ 又，，平面PCD；‎ ‎（3）由（2）可知平面PCD，，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：‎ 求得，‎ 为的中点，故，，，‎ 可设平面的法向量为，平面的法向量为，故有 ‎，取得，则，故 ‎，故二面角的大小为45°‎ ‎【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 ‎18.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；‎ ‎（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时， ‎ 所以， ‎ 令得，或. ‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ 所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.‎ ‎ (2)当时，‎ 若，则，‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 若，则，‎ 所以 ‎ 令 ，‎ 所以有两个不相等的实根，且 ‎ 不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：‎ 因为函数图象是连续不断的，‎ 所以当时，即存在极大值又有极小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．‎ ‎19.已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，定值为3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由斜率之积可求得，的关系，将代入可再得，的关系，解出，的值，即可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）由（1）得，的坐标，设，满足椭圆的方程，得直线，，求出，的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．‎ ‎【详解】（1）设，由题意得，，，‎ 而得：①，‎ 又过②，所以由①②得：，；‎ 所以椭圆的方程：；‎ ‎（2）由（1）得：，设，，则直线的方程，令，则，所以的坐标，‎ 直线的方程：，令，，所以坐标，‎ ‎（圆的切割线定理），再联立，‎ ‎【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为椭圆上一点为，则有 ‎；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题 ‎20.定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：‎ ‎①；②；③，若，则.‎ 则称集合A为“减i集”‎ ‎（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？‎ ‎（2）证明：不存在“减2集”；‎ ‎（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），，，，即可得出“减0集”，同理可得不是“减1集”．‎ ‎（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，当时，有，对，分类讨论即可得出．‎ ‎（3）存在“减1集” ．．假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．‎ 因此可以有，3，．以此类推可得所有的．‎ ‎【详解】（1），，，，是“减0集”‎ 同理，，，，，不是“减1集”．‎ ‎（2）假设存在是“减2集”，则若，‎ 那么，当时，有，‎ 则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，‎ 但是，，与是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集”‎ ‎（3）存在“减1集”．．‎ ‎①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．‎ 假设，，而，因此．‎ 假设，，而，因此．‎ 因此可以有，．‎ 假设，，而，因此．‎ 假设，，，，，因此．‎ 因此可以有，3，．‎ 以此类推可得：，3，5，，，，，‎ 以及的满足以下条件的非空子集：，，，3，，，3，5，，‎ ‎【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题