安徽省合肥一中2020届高三9月阶段性检测考试数学（理）

安徽省合肥一中2020届高三9月阶段性检测考试数学（理）

合肥一中2019年9月高三阶段性检测考试数学（理）‎ 一、选择题 ‎1.函数的定义域为的定义域为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出函数和的定义域，得到集合和集合，然后根据集合的交集运算，得到答案。‎ ‎【详解】因为函数，所以，解得，故的定义域；集合，所以，解得，故的定义域；所以，故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的定义域，集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.复数满足，其中为虚数单位，则的实部与虚部之和为（ ）‎ A. 1 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简计算，得到复数，然后计算出其实部与虚部之和，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以 所以的实部与虚部之和为，故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，实部与虚部的概念，属于简单题.‎ ‎3.若，，，，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值。‎ ‎【详解】，，则，‎ ‎，则，所以，，‎ 因此，‎ ‎，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：‎ ‎①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；‎ ‎②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解。‎ ‎4.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以当时，，故排除A、D选项，‎ 而，‎ 所以 即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.‎ ‎5.已知函数，将函数向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简，然后根据平移规则得到平移后的解析式，再根据奇函数的特点，求出的值.‎ ‎【详解】由，‎ 向右平移个单位后得到 因为为奇函数，所以，‎ 所以，得，‎ 即 因为，所以的最小值为，‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，函数的平移，奇函数和正弦型函数的性质，属于简单题.‎ ‎6. （ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的计算公式进行计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 是半径为的圆的面积的四分之一，为，‎ 所以，，故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，属于简单题.‎ ‎7.中，内角所对的边分别为，则“”是“为等腰三角形”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由进行推导，无法推出为等腰三角形，说明不充分，取三角形满足，说明不必要，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，则 所以，‎ 所以或，即，或，‎ 故无法由推出为等腰三角形，即为不充分条件；‎ 取等腰三边为时，此时 无法推出，即为不必要条件，‎ 所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件，故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，充分条件和必要条件，属于简单题.‎ ‎8.已知，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对进行整理，然后证明其关于对称，由，可得所求的，得到答案.‎ ‎【详解】因 所以 所以关于成中心对称，‎ 而，‎ 故.‎ 所以选B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简，函数中心对称的证明和性质，属于中档题.‎ ‎9.中，所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形三边关系，得到，由，可得，再由余弦定理得到的范围，从而得到答案.‎ ‎【详解】由三角形三边关系，得到；‎ 因为 由正弦定理得 即 由余弦定理得，‎ 因为，所以，‎ 且 所以 所以，当且仅当时，等号成立 故 所以选B项.‎ ‎【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.‎ ‎10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段的黄金分割点，在中，若点为线段的两个黄金分割点，设（ ，‎ ‎，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到 从而得到，，即得到相应的，再代入到计算得到结果.‎ ‎【详解】因为点为线段的两个黄金分割点，‎ 所以 所以 所以，‎ 所以 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量定理的应用，属于中档题.‎ ‎11.关于数列，给出下列命题：①数列满足，则数列为公比为2的等比数列；②“的等比中项为”是“”的充分不必要条件；③数列是公比为的等比数列，则其前项和；④等比数列的前项和为，则成等比数列，其中，真命题的序号是（ ）‎ A. ①③④ B. ①②④ C. ② D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对四个命题进行判断，从而得到其是否为真命题，得到答案.‎ ‎【详解】命题①，当时，满足，但数列不是等比数列，故①错误；命题②由“的等比中项为”可得“”，当时，不能得到的等比中项为，故②正确；命题③当等比数列的公比为1时，其前项的和为，故③错误；命题④，当时，，不满足成等比数列，故④错误.‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的求和和性质，判断命题的正确，属于简单题.‎ ‎12.已知函数，曲线上总存在两点使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在两点处的切线互相平行，得到，从而得到，再设，利用导数求出其最大值，从而得到答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 可得 曲线在两点处的切线互相平行，‎ 所以 即 ‎，（，故等号取不到） ‎ 即恒成立，‎ 设，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减；‎ 所以时，取最大值，‎ 所以，即，故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义，利用导数研究函数的最值，解决恒成立问题，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.设等差数列的前项和为，若，则________.‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列中下标公式的性质，得到的值，再根据求和公式，求出.‎ ‎【详解】等差数列中，‎ 所以，即，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列的下标公式和等差数列的求和，属于简单题.‎ ‎14.已知的夹角为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对平方，然后代入已知条件，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以 ‎【点睛】本题考查求向量的模长，属于简单题.‎ ‎15.已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则= _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到周期为4，，再由当时，，得到答案.‎ ‎【详解】因为函数满足，所以的周期为，‎ 所以 而，所以 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列周期的性质，求函数的值，属于中档题.‎ ‎16.中，内角所对的边分别为，若是与的等比中项，且是与的等差中项，则________ ,__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是与的等比中项，得到，即，根据是 与的等差中项，得到，即，代入到中进行化简，再利用,得到，从而得到的值，再利用之前的两个式子，将用代换，得到关于的方程，解出.‎ ‎【详解】因为是与的等比中项，‎ 所以，即，‎ 因为是与的等差中项，‎ 所以 即，‎ 所以，即 所以，‎ ‎,所以，‎ ‎，所以；‎ 所以得 即，解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角函数公式的运用，属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知函数部分图象如图所示，函数.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）求函数的单调增区间和对称中心.‎ ‎【答案】（1）；（2）,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数图象可得和周期，由周期求出，再由，得到，再得到的解析式；（2）根据的解析式，利用正弦函数的单调性与对称性求出其单调增区间和对称中心.‎ ‎【详解】（1）根据图像可知，，‎ 所以周期，即，得，‎ 代入得，得 因为，所以 所以 ‎；‎ ‎（2）令 解得 所以单调增区间是 令，可得 所以对称中心为 ‎【点睛】本题考查正弦型函数图像的性质，辅助角公式，求三角函数的单调区间和对称中心，属于简单题.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，，验证时，得到的通项；（2）得到 的通项，然后利用错位相减法，得到其前项的和.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当时，，符合上式，‎ 所以 ‎（2）‎ 所以 所以 所以 ‎【点睛】本题考查通过求通项，错位相减法求数列的和，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）的极大值为的极小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，判断的正负，得到的单调性，然后得到的极值；（2）对进行分类，研究其导函数的正负，从而得到的单调性，求出其最值.‎ ‎【详解】（1），所以 ‎，令，得 所以在和上，，单调递增，‎ 上，，单调递减，‎ 所以的极大值为，极小值为；‎ ‎（2），‎ ‎①当时，，所以上单调递增，所以，‎ ‎②当时，令，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ i)当时，在上单调递减，所以 ii)当时，在上单调递减，在上单调递增，所以 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和最值，分类讨论研究函数的单调性和最值，属于中档题.‎ ‎20.如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.‎ ‎（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；‎ ‎（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别表示出和，根据公式得到的值，然后得到的值，从而得到的值；（2）设，表示出，表示出，再利用公式表示出，整理化简后得到定值，所以为定值，所以得到为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，‎ 所以，‎ 由题意可知，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）设，所以 在直角三角形中，‎ 所以，‎ 整理得 ‎，‎ 所以 将代入上式可得，‎ 所以，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查几何图形里正切的表示，两角和的正切公式，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）设是函数在处的切线，证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意利用导数的几何意义，求出，再构造函数，再利用导数求出其最大值，得到，从而证明出；（2）由（1）可知，取，将所得到的不等式相加，再进行放缩，得到其值小于，从而得以证明 .‎ ‎【详解】（1）由 可得，‎ 代入切点横坐标，得切线斜率 所以切线 设 则 所以时，，单调递增，时，，单调递减，‎ 所以 故 即.‎ ‎（2）由（1）可知对任意的恒成立，‎ 取，有 取，有 取，有 则 而 所以，‎ 即，证毕.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数图像在一点的切线方程，利用导数求函数的最大值，放缩法证明不等式，属于难题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得到单调增，不等式转化为，可得,解出的范围；（2），而函数为单调增函数，且，故存在唯一，有，当，得到，设，则恒成立，利用导数求出，当时，有，设，则恒成立，利用导数求出，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以，在上单调递增 不等式转化为 则，解得 ‎（2）‎ 函数为单调增函数，且，‎ 故存在唯一，有 ‎①当时，有 所以，‎ 令，则 ‎，所以 所以单调递减，，‎ 所以 ‎②当时，有 则，即 ‎，‎ ‎，‎ ‎，，所以，‎ 所以 所以 所以单调递减，‎ 所以，‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本题考查利用导数函数考查函数的单调性，参变分离的方法研究恒成立问题，利用导数求函数最值，属于难题.‎