2017-2018学年吉林省榆树一中下学期高二期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年吉林省榆树一中下学期高二期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省榆树一中下学期高二期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知函数且，则的值为( )‎ A. 1 B. 2 C. D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a的值即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则，据此可知：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．已知函数是可导函数，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得： ,‎ 即： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．已知复数，则共轭复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则其共轭复数.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．设随机变量服从正态分布，若，则的值为( )‎ A. B. C. 5 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合正态分布的对称性求解实数a的值即可.‎ 详解：随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于对称，‎ 结合可得：，‎ 解得：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查正态分布的对称性及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．若随机变量的数学期望，则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.‎ 详解：随机变量则的数学期望，‎ 据此可知：，解得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．若实数满足，则( )‎ A. 都小于0 B. 都大于0‎ C. 中至少有一个大于0 D. 中至少有一个小于0‎ ‎【答案】D ‎【解析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.‎ ‎7．设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），则以下结论中正确的是（ ）‎ A. 和的相关系数为直线的斜率 B. 和的相关数据在到之间 C. 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D. 直线过点 ‎【答案】D ‎【解析】因回归直线一定过这组数据的样本中心点，故选D．‎ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.‎ ‎8． ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合定积分的几何意义和定积分的运算法则求解定积分的值即可.‎ 详解：函数表示单位圆位于轴上方的部分，‎ 结合定积分的几何意义和定积分的运算法则可得：‎ ‎.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；‎ ‎(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.‎ ‎9．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有( )种 A. 60 B. 90 C. 120 D. 150‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可知，5人的安排方案为或，‎ 结合平均分组计算公式可知，‎ 方案为时的方法有种，‎ 方案为时的方法有种，‎ 结合加法公式可知安排方法共有种.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎10．设,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意将替换为，然后和比较即可.‎ 详解：由题意将替换为，据此可得：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法中由k到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合图形的特征确定下一个呈现的图形即可.‎ 详解：观察可知：‎ 该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁，‎ 则下一个呈现出来的图形是A.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎12．已知函数的导数是，若，都有成立，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意构造函数，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：令，‎ 则：，‎ 由，都有成立，可得在区间内恒成立，‎ 即函数是区间内单调递减，‎ 据此可得：，即，则.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.‎ 因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 二、填空题 ‎13．展开式中不含项的系数的和为_________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由二项式展开式的通项公式可知展开式的通项公式为：‎ ‎，‎ 令可知的系数为：，‎ 中，令可知展开式的系数和为：，‎ 据此可知：不含项的系数的和为.‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎14．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是_________．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】分析：由题意分别求解数学期望即可确定获胜希望大的狙击手.‎ 详解：由题意，狙击手甲得分的数学期望为，‎ 狙击手乙得分的数学期望为，‎ 由于乙的数学期望大于甲的数学期望，故两名狙击手获胜希望大的是乙.‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量数学期望的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．‎ 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．‎ 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】试题分析：采用反证法，如果甲说的是假话，那丙就是满分，那么乙也说的是假话，就不成立了，如果乙说的是假话，那乙没有考满分，丙也没有考满分，那只有甲考满分．‎ ‎【考点】1．合情推理；2．反证法．‎ ‎16．已知是抛物线上的一点，过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导，得：，则，所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.‎ 详解：用类比的方法对两边同时求导得，，‎ ‎∴切线方程为，‎ 整理为一般式即：.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，直线 的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）1.‎ ‎【解析】分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ 详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)，‎ 消去参数t，得x＋y－1＝0．‎ 曲线C的参数方程为 (θ为参数)，‎ 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．‎ 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．‎ 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．‎ 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ 点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。‎ 点睛：‎ ‎（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：‎ ‎①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．‎ ‎（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．‎ ‎19．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1) (2)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.‎ ‎(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.‎ ‎(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.‎ ‎(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:‎ ‎; ;‎ ‎; ;‎ 所以的分布列如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则数学期望 .‎ ‎【考点】分布列 数学期望 概率 ‎20．已知函数. ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）如果，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见解析； 上是增函数；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）求导得：,分类讨论可知当时，在上是增函数，当时，在上是减函数；在上是增函数.‎ ‎（2）由（1）可知，时，函数有最小值，据此可得关于实数a的不等式，且满足题意，据此可知.‎ 详解：（1）求导得：,‎ 当时，恒成立，所以在上是增函数，‎ 当时，令，则.‎ ‎①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数.‎ ‎（2）由（1）可知，时，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，解得，‎ 又由于，‎ 综上所述：.‎ 点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最值问题．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎21．在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：‎ 几何证 明选讲 极坐标与 参数方程 不等式 选讲 合计 男同学 ‎12‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎0‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎12‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎42‎ ‎（1）在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.‎ 几何类 代数类 合计 男同学 ‎16‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ 能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？‎ ‎（2）在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．‎ ‎①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；‎ ‎②记抽取到数学课代表的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 下面临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）①.；②.答案见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)由题意知K2的观测值k≈4.582>3.841，则有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．‎ ‎（2）①由题意结合条件概率计算公式可知在学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率为;‎ ‎②由题意知X的可能取值为0，1，2.‎ 由超几何分布计算相应的概率值可得其分布列，然后计算其数学期望为E(X)＝.‎ 详解：(1)由题意知K2的观测值k＝≈4.582>3.841，‎ 所以有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．‎ ‎（2）①由题可知在选做“不等式选讲”的18名学生中，要选取3名同学，‎ 令事件A为“这名学委被选中”，事件B为“两名数学课代表被选中”，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎②由题意知X的可能取值为0，1，2.‎ 依题意P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，‎ 则其分布列为：‎ 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立性检验的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)若, 求实数的取值范围；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据导数公式求出导函数，代入，将 分离出来，令，然后利用导数求出的最值，从而求出参数的取值范围；（2）由（1）知，即，然后讨论与的大小，从而确定的符号，然后判定与的大小，即可得证.‎ 试题解析：(1)，，题设等价于.‎ 令，则.‎ 当时，；当时，，是的最大值点，.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(2)证明：由(1)知，，即，‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎∴.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎