2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型2解答题规范踩点多得分第6讲解析几何第1课时直线与圆锥曲线的位置关系练习
第1课时 直与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置，题目可能涉及线段中点、弦长等问题，解决这类问题，往往利用数形结合的思想、“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等，难度属于中上等．
热点题型分析
热点 直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法：
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程构成方程组，通过消元得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，由方程组的解得交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点的个数．
(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且F＋F＋F＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
解 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k，得＋·k＝0.
由题设，知＝1，＝m，于是k＝－.①
由点M(1，m)在椭圆C内，得m< ＝，
且m>0，即0
b>0)的右焦点为(1,0)，且经过点A
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(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
解 (1)由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．
3．(2019·唐山市高三一模)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2，B为直线l：x＝－3上的动点，M(m,0)，AM⊥BM.当AB⊥l时，M与F重合．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线BM交椭圆Γ于P，Q两点，若AP⊥AQ，求m的值．
解 (1)依题意，得A(0，b)，F(－c,0)，a＝，当AB⊥l时，B(－3，b)，由AF⊥BF，得
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kAF·kBF＝·＝－1，又b2＋c2＝6.解得c＝2，b＝.所以，椭圆Γ的方程为＋＝1.
(2)由(1)，得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－，又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直线BM的方程为y＝(x－m)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝(x－m)与＋＝1联立，得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
|PM|·|QM|＝|(x1－m)(x2－m)|＝·|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|＝·＝，|AM|2＝2＋m2，由AP⊥AQ，得|AM|2＝|PM|·|QM|，所以＝1，解得m＝±1.
4．(2019·四川诊断)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－2,0)，上顶点B(0,2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同两点M，N，且线段MN的中点G在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解 (1)由题意可得c＝2，b＝2，
由a2＝b2＋c2得a2＝22＋22＝8，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段MN的中点G(x0，y0)，
由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
则Δ＝96－8m2>0，所以－2
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