河南省郑州市第一中学2020届高三名校联考数学试题（理科）

河南省郑州市第一中学2020届高三名校联考数学试题（理科）

‎ ‎ 河南省郑州一中2020届高三名校联考 数学（理科）‎ ‎（本试卷考试时间120分钟，满分150分）‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合，，则下列选项正确的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 C.若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D.若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg ‎4.“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ ‎ ‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.设函数，，若，则方程的所有根之和为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.已知过双曲线的左焦点F的直线与双曲线左支交于点A，B，过原点与弦中点D的直线交直线于点E，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是 ‎ ‎ 直线上一点，且，则实数的取值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺（如图2）近似体积公式.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构，若该体育馆占地面积约为，建筑容积约为，估计体育馆建筑高度（单位：m）所在区间为（ ）‎ 参考数据：，，，，.‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若x，y满足线性约束条件，则的最大值为_______________.‎ ‎14.过抛物线的焦点F的直线被F分成长度为m，n的两段，请写出一个m，n满足的等量关系式_________________.‎ ‎15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金（万元）的3倍，已知 ‎ ‎ ‎，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______________万元.‎ ‎16.函数，若，则在的最小值为____________；当时，恒成立，则a的取值范围是________________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）在平面中，四边形满足，，，，的面积为4.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18.（12分）人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：‎ 购买金额（元）‎ 购买人数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.‎ 不少于60元 少于60元 总计 年龄大于50‎ ‎40‎ 龄小于50‎ ‎18‎ 总计 ‎（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.‎ ‎ ‎ 附参考公式和数据：，.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.（12分）如图，已知五面体中，四边形为等腰梯形，，，且，，，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）已知圆，点，P是圆C上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点M.‎ ‎（1）求点M的轨迹方程E.‎ ‎（2）已知直线交曲线E于A，B两点.‎ ‎①若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值；‎ ‎②若，垂直于点D，求点D的轨迹方程.‎ ‎21.（12分）已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）如果，且，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线C和直线的一般方程；‎ ‎（2）已知点，直线和曲线C交于A，B两点，若，求直线的一般方程.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 ‎1.解析：，.‎ 答案：B ‎2.解析：，，所以，.‎ 答案：C ‎3.解析：由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；又线性回归方程必过样本中心点，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确；当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确.‎ 答案：D ‎4.解析：若，则圆的圆心到直线的距离为，等于半径，此时直线与圆相切，即“”“直线与圆相切”；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得或，即“”是“直线与圆相切”的不必要条件，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选B.‎ ‎ ‎ 答案：B ‎5.解析：因为，，所以..因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，所以实数m的取值范围为.‎ 答案：C ‎6.解析：∵，，∴，又，∴方程有两根，，由对称性得，解得.‎ 答案：D ‎7.解析：依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得a的取值范围为.‎ 答案：B ‎8.解析：现把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有种分配方案，甲、乙两人被分配到同一路口有种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为.‎ 答案：A ‎9.解析：设且为偶函数，，当时，，两函数有一个交点，即个零点；当时，，作出图象（图略），两函数有一个交点，即一个零点；当时，，两函数有一个交点，即一个零点；当时，，，此时两函数有一个交点，即一个零点，共4个零点.‎ 答案：D ‎10.解析：易知，则由题意可设，代入双曲线的方程，消去x，整理得.设，，由根与系数的关系，得，‎ ‎ ‎ ‎∴，，即∴直线的方程为.令，得，即，∴直线的斜率为，∴，则必有，即，解得.又，∴，∴，从而直线的方程为或.故选A.‎ 答案：A ‎1l.解析：不妨取，，当时，，当时，，验证得当时上式成立，综上，.‎ 同理可得，则.‎ 点P在直线上，设，，即，，故选B.‎ 答案：B ‎12.解析：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则；若，则，，∴，故选B.‎ 答案：B ‎13.解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即.‎ ‎ ‎ 答案：12‎ ‎14.答案：（开放型答案，与其等价的均可）‎ ‎15.解析：设等差数列的公差为d，则该镇政府帮扶5年累计总投入 ‎，当且仅当时等号成立.‎ 故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.‎ 答案：200‎ ‎16.解析：当时，∵，∴.‎ 当时，恒成立，∴在上单调递增.‎ ‎∴在上最小值为.又时，恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 答案： ‎ ‎17.解：（1）由已知，‎ 可得，.……………………………………2分 又，所以，.……………………………………3分 所以.………………………………4分 ‎ ‎ 在中，由余弦定理，可得，‎ 所以.……………………………………6分 ‎（2）由（1）可得：，所以，故.…………7分 由，得，所以，.……………………8分 又，所以，‎ 所以为等腰三角形，即.…………………………………………9分 在中，过顶点D作的垂线，垂足为E.在直角三角形中由正弦定理可求得，.………………………………11分 所以.……………………………………12分 ‎18.解：（1）2×2列联表如下：‎ 不少于60元 少于60元 总计 年龄大于50‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎52‎ 龄小于50‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎38‎ 总计 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎，.………………………………4分 因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.………………5分 ‎（2）X的可能取值为65，70，75，80，且.………………………………6分 ‎，.…………………………………………7分 ‎，.…………………………………………8分 ‎，.……………………………………9分 ‎.……………………………………10分 X的分布列为 ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎ ‎ ‎.………………………………12分 ‎19.解：（1）证明：取中点M，连接，，因为四边形为等腰梯形，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，三角形为等边三角形，所以，，，，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.…………5分 ‎（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得，，，.……………………6分 则，，.‎ 设向量为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 所以令，则法向量=；.…………………………8分 设向量为平面的法向量，则，即，……10分 令，解得法向量，所以，.……………………11分 ‎ ‎ 又二面角的平面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为.………………………………12分 ‎20.解：（1）∵，∴点G在圆C内.‎ 又∵点M在线段的垂直平分线上，‎ ‎∴，∴.‎ 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以G，C为焦点的椭圆，其中，，，‎ ‎∴点M的轨迹方程为.…………………………4分 ‎（2）①当所在直线斜率存在时，设所在直线方程为，由，得，同理，，∴，即Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍.……………………5分 设，，联立，得.‎ 由得，且，，‎ 则，‎ O到直线的距离，‎ ‎∴.‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 故面积的最大值为.‎ ‎ ‎ 当所在直线斜率不存在时，假设，则，的方程为（其中）.‎ 联立，得，则.‎ ‎∴.其他情况同理可得.‎ 综上，面积的最大值为3.……………………………………8分 ‎②∵，∴，∴，即.‎ 解得，又，‎ ‎∴点D的轨迹是以O为圆心，半径为的圆（去掉x轴上的两个点），.………………11分 故点D的轨迹方程为.…………………………12分 ‎21.解：（1）因为，所以，.…………………………1分 可得函数在上单调递增，在上单调递减.……………………3分 ‎（2）由第一问可得函数在处取得最大值，‎ ‎，‎ 所以函数的图象大致如下：‎ ‎.………………………………4分 易知函数的值域为.………………………………6分 因为方程有两个不同的根，‎ ‎ ‎ 所以，即，，解得.‎ 即实数a的取值范围为.……………………………………8分 ‎（3）证明：由，，不妨设，‎ 构造函数，，.………………………………9分 则，‎ 所以在上单调递增，，‎ 也即对恒成立.‎ 由，则，‎ 所以，.…………………………10分 即，又因为，，且在上单调递减，所以，‎ 即证.‎ 即.…………………………12分 ‎22.解：（1）曲线C的一般方程为.…………………………1分 当时，的直角坐标方程为；.……………………3分 当时，的直角坐标方程为.………………………………4分 ‎（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 ‎，设A，B对应的参数为，，‎ 则，.…………………………6分 ‎∴，解得.……………………8分 于是直线的方程为或.……………………10分 ‎23.解：（1）当时，.…………………………2分 ‎ ‎ 当时，由，得，解得；.………………3分 当时，由，得，解得；.……………………4分 当时，，无解.…………………………5分 所以的解集为.…………………………6分 ‎（2），当且仅当时等号成立，.…………7分 故恒成立等价于恒成立，由可得或，‎ 所以m的取值范围是.…………………………10分