2020学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教版新版(2)

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‎2019学年高二数学下学期期末考试试题 理 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，‎ 则(　　)‎ ‎（A）　 （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）若复数满足，其中为虚数单位，‎ 则在复平面上复数对应的点的坐标为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，‎ 那么＝(　　) ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）在射击训练中,某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”, 命题是“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知，，，则的大小关系为( )．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为(　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）等差数列的前项的和等于前项的和，若，则（ ）‎ - 13 -‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ ‎（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增 ‎（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增 ‎（10）在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）定义在上的函数满足，，若，且，则有( )‎ ‎（A） （B） （C）      （D）不确定 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知直线与曲线相切，则的值为___________．‎ ‎（14）已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为 ．‎ ‎（15）设为等比数列的前n项和，则 ．‎ ‎（16）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为 - 13 -‎ ‎，，则球的表面积为 ．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）在△中，分别为内角的对边，已知．‎ ‎ (Ⅰ) 求；‎ ‎（Ⅱ）若，求△的面积．‎ ‎（18） (本小题满分12分）某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的营业额；‎ 附: 回归方程中, ,.‎ （19） ‎（本小题满分12分）下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面 ‎ ‎，，且，为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ - 13 -‎ 动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：对任意的，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ ‎ 已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎ ‎ ‎(23)（本小题满分10分）（选修 4-5：不等式选讲）设函数 ‎ ‎（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ - 13 -‎ 高二数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A D A A C C B C D A ‎（1）解析：化简集合得，容易得到(1,2]，故选D．‎ ‎（2）解析：z=，故选C.‎ ‎（3）解析：‎ ‎（4）解析：在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.‎ ‎（5） 解析：解析：因为命题的是“第一次射击没有击中目标”， 是“第二次射击没有击中目标”,所以命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示.故选A.‎ ‎（6）解析：显然，，，，因此最大，最小，故选A.‎ ‎（7）解析：双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选C．‎ ‎（8）解析：因为，所以，即，于是，可知答案选C.另解：由已知直接求出.‎ ‎（9）解析：依题 , ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴ ，，故选B ‎（10）解析：如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，‎ - 13 -‎ ‎，得为等腰直角三角形，故选C.‎ ‎（11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点在直线的下方即可，得到，解得.故选D.‎ ‎（12）解析：由知函数的图像关于直线对称，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减。因为，且，得 ，易知距离对称轴较近，其函数值较大。故选A。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）答案：‎ 解析：根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，得，即.‎ ‎(14)答案：‎ 解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为 ‎（15）答案：‎ 解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案。‎ ‎（16）答案：‎ 解析：设平面截球所得球的小圆半径为,则,由错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。‎ - 13 -‎ ‎，所以球的表面积.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）解: (Ⅰ)方法一：……………3分 由得，因此…………………6分 方法二：……………2分 ‎…………………4分 由于，所以…………………6分 ‎ (Ⅱ)方法一：由余弦定理得 …………………8分 而，‎ 得，即 因为，所以…………………10分 故△的面积……………………12分 方法二：由正弦定理得从而 又由，知，所以为锐角，…………………8分 故……………10分 所以……………………12分 - 13 -‎ ‎(18)解: (1) ∵令,则............................1分 ‎,.............................2分 ‎.......................................3分 ‎∴ .....................................................................4分 ‎∴,..................................................................................5分 ‎∴,............................................................................................................6分 ‎(‎ 说明整个的求解是4分(从3分至6分段)，如果用该写法结果不正确，但有过程，则统一给1分）‎ ‎∴..........................................................................7分 ‎∴所求的回归方程是.........................................................................8分 ‎(2) 由.............................9分 知与 - 13 -‎ 之间是负相关;...............................................................10分 将代入回归方程可预测该店当日的销售量 ‎................................11分 ‎（千克）................................................................................12分 ‎（19）解：（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 ……………2分 又且 ‎∴且 ‎ ‎∴四边形为平行四边形， ………4分 ‎∴, 即． ‎ 又∵平面, 面, ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∵, ∴, ………………6分 ‎（Ⅱ）∵平面，平面,‎ ‎∴平面平面 ‎∵，平面平面，平面，‎ ‎∴平面.………………8分 三棱锥的体积 ………………10分 ‎……12分 ‎20.解：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，……………………………分 - 13 -‎ ‎（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，‎ 联立得 由韦达定理得……………………………分 ‎（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得.………分 ‎（2）当直线不经过点即且时，，………分 ‎………………………分 所以的最小值为.………………………分 方法二：同上 ‎……………………分 ‎………………分 故，所以的最小值为……………分 方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：‎ 化简整理得：……………分 - 13 -‎ ‎，令，则…………………分 ‎…………………分 ‎…………………分 ‎（21）解：（Ⅰ）函数的定义域是 ‎……………………2分 当时，‎ 对任意恒成立，‎ 所以，函数在区间单调递增；……………………4分 当时，‎ 由得，由得 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。……………………分 ‎（Ⅱ）当时，，要证明，‎ 只需证明，设，‎ 则问题转化为证明对任意的，……………………分 令得，‎ 容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足 当变化时，和变化情况如下表 ‎－‎ 递减 递增 - 13 -‎ ‎……………………分 因为，且，所以，因此不等式得证。………………分 ‎（22）解：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），‎ 消去参数可得．……………………分 由，得，‎ 可得的直角坐标方程：．……………………分 ‎（Ⅱ）把（为参数），代入，‎ 得，……………………分 由，解得．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ 解得或1．又满足．∴实数或1．……………………分 ‎（23）解：（Ⅰ）∵‎ ‎ ………………2分 ‎ ………4分 ‎ ………………5分 - 13 -‎ ‎ 综上，不等式的解集为： ………6分 ‎（Ⅱ）存在使不等式成立…………7分 由（Ⅰ）知，时，‎ 时， ……………………8分 ‎ …………………9分 ‎∴实数的取值范围为 …………………10分 - 13 -‎