2017-2018学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 人大附中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·辽宁期末]已知复数满足，（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎2．[2018·大庆十中]已知，的取值如下表所示：若与线性相关，且，则（ ）‎ A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6‎ ‎3．[2018·南昌二中]在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．[2018·石嘴山三中]下列命题中：‎ ‎①线性回归方程必过点；‎ ‎②在回归方程中，当变量增加一个单位时，平均增加5个单位；‎ ‎③在回归分析中，相关指数为0.80的模型比相关指数为0.98的模型拟合的效果要好；‎ ‎④在回归直线中，变量时，变量的值一定是．‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．[2018·长郡中学]某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由并参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ C．有的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ D．有的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ ‎6．[2018·钦州期末]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·赣州外国语]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 以下选项不正确的是（ ）‎ A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可以知道两人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8．[2018·山东师范附中]设，，，则，，间的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·寻乌中学]对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．[2018·淮北二中]将正整数排成下表：‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16 ‎ ‎……………‎ 则在表中数字2017出现在（ ）‎ A．第44行第80列 B．第45行第80列 C．第44行第81列 D．第45行第81列 ‎11．[2018·宝安中学]设，，大于0，则3个数，，的值（ ）‎ A．至多有一个不大于1 B．都大于1‎ C．至少有一个不大于1 D．都小于1‎ ‎12．[2018·中山一中]的三边长分别为，，，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知:四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·南昌二中]已知，，是虚数单位，若，则复数的模__________；‎ ‎14．[2018·遂宁期末]执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为____．‎ ‎15．[2018·凌源期末]观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．‎ ‎16．[2018·太原五中]已知表中的对数值有且只有两个是错误的：‎ 请你指出这两个错误______________．（答案写成如的形式）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．[2018·东莞期末]已知复数，（，为虚数单位）‎ ‎（1）若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围．‎ ‎18．[2018·天水一中]如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？‎ ‎（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，）‎ ‎19．[2018·孝感期末]某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训．其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）．现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到类工人生产能力的茎叶图（图1），类工人生产能力的频率分布直方图（图2）．‎ ‎（1）在样本中求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若规定生产能力在内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查，请估计这名工人中的各类人数，完成下面的列联表．‎ 若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则的最小值为多少？‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中．‎ ‎20．[2018·屯溪一中]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1），（2），（3），（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．‎ ‎（1）求出；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式 ‎21．[2018·孝感八校]证明下列不等式：‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）设，，若，求证：．‎ ‎22．[2018·射阳调研]对任意函数，x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{xn}．‎ ‎（1）若定义函数，且输入，请写出数列{xn}的所有项；‎ ‎（2）若定义函数，且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn；‎ ‎（3）若定义函数，且输入x0=－1，求数列{xn}的通项公式xn．‎ 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】，故，故选A．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由表格得，，线性回归直线过样本中点，，，故答案选D．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】因为，复数对应的点的坐标为，故复数对应的点位于第三象限，故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】对于①，线性回归方程必过点，满足回归直线的性质，所以①正确；对于②，在回归方程中，当变量增加一个单位时，平均减少5个单位，不是增加5个单位；所以②不正确；对于③，在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果要好，该判断恰好相反；所以③不正确；对于④，在回归直线中，变量时，变量的值一定是．不是一定为，而是可能是，也可能在附近，所以④不正确；故选C．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】．所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”，选A．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】执行完第一次循环后，；执行完第二次循环后，；执行完第三次循环后，；执行完第四次循环后，；再返回，由于此时，循环应该结束，故不满足判断条件，判断框中应填入，故选C．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，也就知道自己的成绩，所以乙知道了自己和丙的成绩，所以A正确；丁看到甲的成绩，甲、丁也为一优一良，所以丁知道自己的成绩，所以丁知道自己和甲的成绩，故B、D正确，故选C．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】∵，，，，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】，，，，所以正确的结论的个数为3，选C．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上．又由2017－1936=81，故2017出现在第81列，故选：D．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】由题意，若个数，，的值均大于，则，，，显然矛盾，若个数，，的值均小于，则，，，显然矛盾，∴个数，，的值至少有一个不大于，故选C．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，所以四面体的体积等于以 为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体积为，，故选C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以且，，所以复数，，故答案为．‎ ‎14．【答案】15‎ ‎【解析】输入，可得，则，继续循环，，，则，结束循环，输出，故答案为．‎ ‎15．【答案】1522‎ ‎【解析】由题意得，每一行数字个数分别为，，，，，它们成等差数列，则前行总共有个数，所以第40行最左的数字为．‎ ‎16．【答案】，‎ ‎【解析】因为，，‎ 则，，‎ 所以，，‎ 故，，应填答案，．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依据 ········2分 根据题意是纯虚数，故，且，故； ···········5分 ‎（2）依， ······7分 根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得，‎ 综上，实数的取值范围为．···········10分 ‎18．【答案】（1）（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低吨．‎ ‎【解析】（1），，，，····2分 ‎；···········5分 ‎，···········7分 ‎∴所求的回归方程为．···········9分 ‎（2）时，（吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨）．···········12分 ‎19．【答案】（1）123 132.6；（2）360‎ ‎【解析】（1）由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123，···········3分 由频率分布直方图，估计类工人生产能力的平均数为；···········6分 ‎（2）由（1）及所给数据得能力与培训的列联表如下：‎ ‎···········8分 由上表得，···········10分 解得，又人数必须取整，‎ ‎∴的最小值为360． ···········12分 ‎20．【答案】（1）41 （2）f(n)=2n2－2n+1．‎ ‎【解析】（1）∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，‎ ‎∴f(2)－f(1)=4=4×1．f(3)－f(2)=8=4×2，f(4)－f(3)=12=4×3，f(5)－f(4)=16=4×4‎ ‎∴f(5)=25+4×4=41．···········3分 ‎（2）由上式规律得出f(n+1)－f(n)=4n．···········6分 ‎∴f(2)－f(1)=4×1，‎ f(3)－f(2)=4×2，‎ f(4)－f(3)=4×3，‎ ‎…‎ f(n－1)－f(n－2)=4•(n－2)，‎ f(n)－f(n－1)=4•(n－1)‎ ‎∴f(n)－f(1)=4[1+2+…+(n－2)+(n－1)]=2(n－1)•n，‎ ‎∴f(n)=2n2－2n+1．···········12分 ‎21．【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）要证 即证 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，由于，‎ 只要证，‎ 最后一个不等式显然成立，所以···········6分 ‎（2）因为，，，所以，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，所以···········12分 ‎22．【答案】（1），，；（2）故当，；当，；（3）．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域，‎ 把代入可得，把代入可得，把代入可得．‎ 所以数列{xn}只有三项：，，．···········3分 ‎（2）若要产生一个无穷的常数列，则在[0，2π]上有解，‎ 即在[0，2π]上有解，则x=0或sin x=1，所以x=0或 即当或，，‎ 故当，；当，．···········7分 ‎（3）的定义域为，若，则，‎ 则，所以，‎ 所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，‎ 所以，，‎ 即数列{xn}的通项公式．···········12分