2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期12月月考数学（理）试题

2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期12月月考数学（理）试题

‎2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期12月月考 数学试卷（理）‎ 说明：1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。‎ 卷Ⅰ(选择题 共60分)‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）‎ ‎1．已知向量a=（1，1，0），b=（﹣1，0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎2．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是 （ ）‎ A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4‎ ‎3．设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）‎ ‎ A. 若 B. 若 ‎ C. 若 D. 若 ‎4．若直线2ax＋by－2＝0（a，b∈R+）平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则+的最小值是 （ ）‎ A．1 B．5 C．4 D．3+2 ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎6．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ ‎7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使·=0，则| PF1 |•| PF2 |= （ ）‎ A．b2 B．2b2 C．2b D．b ‎8．如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为 （ ）‎ A． B．2 ‎ ‎ ‎ C． D． ‎9.下列四个结论：‎ ‎①若，则恒成立；‎ ‎②命题“若”的逆命题为“若”；‎ ‎③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“”的否定是“”.‎ 其中正确结论的个数是 ( )‎ A.1个         B.2个                C.3个                  D.4个 ‎10．如图，已知双曲线的 左右焦点分别为F1、F2，| F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，‎ 直线PF2交y轴于点A，△APF1的内切圆切边PF1于点Q，‎ 若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）‎ A．y=±x B．y=±3x ‎ C．y=±x D．y=±x ‎11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1A的中点，‎ P为底面ABCD内一动点，设PD1 、PE与底面ABCD所成 的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2，‎ 则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）‎ ‎ ‎ A．直线 B．圆 ‎ C．椭圆 D．抛物线 卷Ⅱ(非选择题 共90分)‎ 二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）‎ ‎13．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围为___________.　‎ ‎14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.‎ ‎15．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3则S12＋S22＋S32=____________.‎ ‎16．如图，正方体A1B1C1D1－ABCD，则下列四个命题：‎ ‎①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－PCD1的体积不变；‎ ‎②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；‎ ‎③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；‎ ‎④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线 其中真命题的个数是__________________个.‎ 三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 命题：直线与圆相交于两点；命题：曲线表示焦点在y轴上的双曲线，若为真命题，求实数k的取值范围． ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知圆 上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎（1）求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，‎ 侧棱 底面，，为的中点，‎ 为的中点 ‎（1）求证：直线平面 ‎（2）求到平面的距离.‎ ‎20.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，‎ 且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，‎ CD与平面ABDE所成角的正弦值为．‎ ‎（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；‎ ‎（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知圆，点，以线段AB为直径的圆内切于圆，记点B的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线AB交圆于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.‎ ‎22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）‎ 已知抛物线,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(A在第一象限). (Ⅰ)当时,求直线l的方程; (Ⅱ)过点作抛物线C的切线与圆交于不同的两点M,N,设F到 的距离为d,求的取值范围 ‎23. （英才班必做，本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．‎ ‎（ I）求椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．‎ 一． 选择题：DADDD ABABD AB 二． 填空题 13. 14. 15.3 16.(1)(3)(4)‎ 三． 解答题 ‎17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点， ‎ ‎∴圆心到直线的距离，∴，（4分） ‎ ‎∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线， ‎ ‎∴，解得k＜0，（8分） ‎ ‎∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题， ‎ ‎∴， ‎ 解得k＜﹣2．（10分） ‎ ‎18.解：（1）设AP中点为M（x，y），‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）‎ ‎∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．‎ 故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎（2）设PQ的中点为N（x，y），‎ 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，‎ 设O为坐标原点，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，‎ 所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．‎ ‎19. ‎ ‎20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．‎ 取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，‎ 根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，‎ ‎∴OD是CD在平面ABDE上的射影，‎ ‎∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．‎ ‎∴sin∠CDO=，而OC=，‎ ‎∴CD=2，∴BD=2．‎ 取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，‎ 取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，‎ 所以，所以EF⊥面DBC．‎ ‎（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，‎ 又，‎ 取平面DEC的一个法向量 设平面BCE的一个法向量，则 又，‎ 所以，令x=1，则y=，z=2．‎ 由此得平面BCE的一个法向量．‎ 则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．‎ ‎21.‎ 其中，a＝2，，b＝1，则 曲线Γ的方程为． …5分 或． …12分 ‎22.解:(1),. 设,,则 ‎, 故, . 因此直线l的方程为. (2)因为,因此, 故切线的方程为, 化简得, 则圆心到的距离为,且,故. 则, 则点F到的距离, 则, 令,. 则, 故.‎ ‎23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，‎ ‎∵，‎ ‎∴a2=2c2，‎ ‎∴a2=2b2，‎ 设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，‎ 又∵弦长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又a2=2b2，‎ 解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±‎ ‎∴A（r，），B（r，﹣），‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴r2﹣=0，‎ ‎∴r2=，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），‎ ‎（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，‎ ‎∵l与圆O相切 ‎∴=r，即m2=（1+k2）r2，‎ 将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①‎ ‎△=8k2+4﹣m2＞0，②‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：‎ x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ ‎∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），‎ 又∵m2=（1+k2）r2，‎ ‎∴3（1+k2）r2=8（1+k2），‎ ‎∴r2=，‎ 此时m2=（1+k2），代入②式后成立，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=•，‎ ‎=•，‎ ‎=••，‎ ‎=••，‎ ‎=•，‎ ‎=•，‎ ‎=•；‎ ‎（i）若k=0，则|AB|=，‎ ‎（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，‎ 综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．‎ 一． 选择题：DADDD ABABD AB 二． 填空题 13. 14. 15.3 16.(1)(3)(4)‎ 三． 解答题 ‎17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点， ‎ ‎∴圆心到直线的距离，∴，（4分） ‎ ‎∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线， ‎ ‎∴，解得k＜0，（8分） ‎ ‎∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题， ‎ ‎∴， ‎ 解得k＜﹣2．（10分） ‎ ‎18.解：（1）设AP中点为M（x，y），‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）‎ ‎∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．‎ 故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎（2）设PQ的中点为N（x，y），‎ 在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，‎ 设O为坐标原点，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，‎ 所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．‎ ‎19. ‎ ‎20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．‎ 取AB的中点O，连结OC，OD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，‎ 根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，‎ ‎∴OD是CD在平面ABDE上的射影，‎ ‎∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．‎ ‎∴sin∠CDO=，而OC=，‎ ‎∴CD=2，∴BD=2．‎ 取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，‎ 取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，‎ 所以，所以EF⊥面DBC．‎ ‎（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，‎ 又，‎ 取平面DEC的一个法向量 设平面BCE的一个法向量，则 又，‎ 所以，令x=1，则y=，z=2．‎ 由此得平面BCE的一个法向量．‎ 则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．‎ ‎21.‎ 其中，a＝2，，b＝1，则 曲线Γ的方程为． …5分 或． …12分 ‎22.解:(1),. 设,,则, 故, . 因此直线l的方程为. (2)因为,因此 ‎, 故切线的方程为, 化简得, 则圆心到的距离为,且,故. 则, 则点F到的距离, 则, 令,. 则, 故.‎ ‎23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，‎ ‎∵，‎ ‎∴a2=2c2，‎ ‎∴a2=2b2，‎ 设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，‎ 又∵弦长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又a2=2b2，‎ 解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±‎ ‎∴A（r，），B（r，﹣），‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴r2﹣=0，‎ ‎∴r2=，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），‎ ‎（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，‎ ‎∵l与圆O相切 ‎∴=r，即m2=（1+k2）r2，‎ 将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①‎ ‎△=8k2+4﹣m2＞0，②‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：‎ x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，‎ ‎∵以AB为直径的圆恒过原点，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ ‎∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），‎ 又∵m2=（1+k2）r2，‎ ‎∴3（1+k2）r2=8（1+k2），‎ ‎∴r2=，‎ 此时m2=（1+k2），代入②式后成立，‎ ‎∴圆O的方程为x2+y2=，‎ 此时|AB|=•，‎ ‎=•，‎ ‎=••，‎ ‎=••，‎ ‎=•，‎ ‎=•，‎ ‎=•；‎ ‎（i）若k=0，则|AB|=，‎ ‎（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，‎ 综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．‎