高考数学专题复习：数学归纳法

高考数学专题复习：数学归纳法

‎2.3　数学归纳法 一、选择题 ‎1、用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋> (n>2)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)‎ A．增加了一项 B．增加了两项， C．增加了两项，，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎2、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)‎ A．假设n＝2k＋1(n∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确 C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确 D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确 ‎3、用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n＋1)(n∈N*)，从“k到k＋‎1”‎左端需增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. ‎4、已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是(　　)‎ A．2k－1项 B．2k＋1项 C．2k项 D．以上都不对 ‎5、用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2 B．‎3 C．5 D．6‎ ‎6、用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等号左边的项是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 二、填空题 ‎7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．‎ ‎8、用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1 (n∈N*)的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________________________．‎ ‎9、用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上____________________________．‎ 三、解答题 ‎10、等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，‎ 证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．‎ ‎11、已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N*都能使m整除f(n)，‎ 则最大的m的值为多少？并证明之．‎ ‎12、在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎13、试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[当n＝k时，左边＝＋＋…＋.‎ 当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋‎ .]‎ ‎2、B　[因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.]‎ ‎3、B　[当n＝k时左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…(k ‎＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，即(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．‎ 观察比较它们的变化知增乘了 ‎＝2(2k＋1)．]‎ ‎4、C　[观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，‎ 而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.‎ 因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．]‎ ‎5、C　[当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个 能使2n>n2＋1的n值为5.]‎ ‎6、C　[当n＝1时，an＋1＝a2.‎ ‎∴等号左边的项是1＋a＋a2.]‎ 二、填空题 ‎7、Sn＝ 解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，‎ 猜想Sn＝.‎ ‎8、没有用到归纳假设，不是数学归纳法．‎ ‎9、(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2‎ 三、解答题 ‎10、(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，‎ 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，‎ 由于b>0且b≠1，‎ 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．‎ 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，‎ ＝b，即＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)证明　当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，‎ 因此bn＝2n(n∈N*)，‎ 所证不等式为··…·>.‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝.‎ 左式>右式，所以结论成立，‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，‎ 即··…·>，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ··…· ‎>·＝.‎ 要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 由基本不等式＝ ‎≥成立，‎ 故≥成立，‎ 所以当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．‎ ‎11、解　∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，‎ f(3)＝360＝10×36，‎ ‎∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．‎ 证明：n＝1,2时，由上得证，假设n＝k(k∈N*，k≥2)时，‎ f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，‎ 则n＝k＋1时，‎ f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k ‎＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ‎＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)．‎ ‎∴f(k＋1)能被36整除．‎ 因此，对任意n∈N*，f(n)都能被36整除．‎ 又∵f(1)不能被大于36的数整除，‎ ‎∴所求最大的m值等于36.‎ ‎12、解　(1)a2＝＝＝，‎ a3＝＝＝.‎ ‎(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．‎ 证明：①当n＝1时，结论显然成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，‎ 那么ak＋1＝＝ ‎＝＝.‎ 也就是说，当n＝k＋1时结论成立．‎ 根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，‎ 即an＝.‎ ‎13、证明　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，‎ 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，‎ 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，‎ 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，‎ 由此可以猜想，‎ ‎2n＋2>n2 (n∈N*)成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，‎ 所以左边>右边，所以原不等式成立．‎ 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，‎ 右边＝22＝4，所以左边>右边；‎ 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，‎ 所以左边>右边．‎ ‎②假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，‎ 即2k＋2>k2，那么n＝k＋1时，‎ ‎2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.‎ 要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证2k2－2≥(k＋1)2，‎ 即证k2－2k－3≥0，‎ 即证(k＋1)(k－3)≥0.‎ 又∵k＋1>0，k－3≥0，‎ ‎∴(k＋1)(k－3)≥0.‎ 所以当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②可知，n∈N*,2n＋2>n2.‎