2021高考数学一轮复习课后限时集训36数列求和理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训36数列求和理北师大版

课后限时集训36‎ 数列求和 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和Sn＝(　　)‎ A.　　　　 B． C. D. B　[设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝n－3.则an＋3＝n，an＋4＝n＋1，所以＝＝－.所以Sn＝1－＝.故选B.]‎ ‎2．数列{(－1)n(2n－1)}的前2 020项和S2 020等于(　　)‎ A．－2 018 B．2 018‎ C．－2 020 D．2 020‎ D　[S2 020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 019－1)＋(2×2 020－1)＝2×1 010＝2 020.故选D.]‎ ‎3．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝(　　)‎ A．(2n－1)2 B. C．4n－1 D. D　[由题意得，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，则an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2n－1，则a＝‎ ‎22n－2，所以数列{a}的首项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝，故选D.]‎ ‎4．数列{an}中，a1＝2，且an＋an－1＝＋2(n≥2)，则数列前2 019项和为(　　)‎ A. B. 8‎ C. D. B　[∵an＋an－1＝＋2(n≥2)，‎ ‎∴a－a－2(an－an－1)＝n，‎ 整理，得(an－1)2－(an－1－1)2＝n，‎ ‎∴(an－1)2－(a1－1)2＝n＋(n－1)＋…＋2，‎ 又a1＝2，‎ ‎∴(an－1)2＝，‎ 即＝＝2.‎ 则数列前2 019项和为：‎ ‎2＝2＝.故选B.]‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，则S13＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C. D. C　[∵a1＝2，‎ ‎∴n＝2时，a2＋a3＝22，n＝4时，a4＋a5＝24，‎ n＝6时，a6＋a7＝26，n＝8时，a8＋a9＝28，‎ n＝10时，a10＋a11＝210，n＝12时，a12＋a13＝212，‎ ‎∴S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212‎ ‎＝2＋＝.故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·浙江台州期中)已知数列{an}满足＝－1，且a1＝1，则an＝________，数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.‎ 　(n－1)·2n＋1＋2　[由＝－1可得－＝1，‎ 所以为等差数列，公差、首项都为1，‎ 由等差数列的通项公式可得 8‎ ＝n，an＝，＝n×2n，‎ Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，‎ ‎2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，‎ 相减得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n＋1＝－＋n×2n＋1＝(n－1)×2n＋1＋2.]‎ ‎7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N＋)，则S2 018＝________.‎ ‎3·21 009－3　　[∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，①‎ ‎∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1，②‎ 由①÷②得＝2，‎ ‎∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，‎ ‎∴S2 018＝＋＝3·21 009－3.]‎ ‎8．已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N＋)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为________．‎ 　[因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以公差d＝2，‎ 所以an＝a3＋2(n－3)＝2n＋1.‎ 所以bn＝＝＝＝.所以S100＝b1＋b2＋…＋b100‎ ‎＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列{an}满足a6＝6＋a3，且a3－1是a2－1，a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N＋)，数列{bn}的前项和为Tn，求使Tn＜成立的最大正整数n的值 ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a6－a3＝3d＝6，即d＝2，‎ ‎∴a3－1＝a1＋3，a2－1＝a1＋1，a4＝a1＋6，‎ ‎∵a3－1是a2－1，a4的等比中项， ‎ ‎∴(a3－1)2＝(a2－1)·a4，即 8‎ ‎(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)得 bn＝＝＝.‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝，‎ 由＜，得n＜9.‎ ‎∴使Tn＜成立的最大正整数n的值为8.‎ ‎10．(2019·天津高考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝‎4a2＋3.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{cn}满足cn＝求a‎1c1＋a‎2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋)．‎ ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意，得 解得 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.‎ 所以{an}的通项公式为an＝3n，‎ ‎{bn}的通项公式为bn＝3n.‎ ‎(2)a‎1c1＋a‎2c2＋…＋a2nc2n ‎＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)‎ ‎＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)‎ ‎＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．‎ 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①‎ 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②‎ ‎②－①得，‎ ‎2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1‎ ‎＝.‎ 所以a‎1c1＋a‎2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn 8‎ ‎＝3n2＋3× ‎＝(n∈N＋)．‎ ‎1．定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：当0≤x＜2时，f(x)＝2x－x2；当x≥2时，f(x)＝‎3f(x－2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，an，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，bn，…，则a1b1＋a2b2＋…＋a20b20的值为(　　)‎ A．19×320＋1 B．19×319＋1‎ C．20×319＋1 D．20×320＋1‎ A　[由题意当0≤x＜2时，‎ f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1极大值点为1，极大值为1，当x≥2时，f(x)＝‎3f(x－2)．则极大值点形成首项为1，公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故an＝2n－1，bn＝3n－1，‎ 故anbn＝(2n－1)3n－1，‎ 设S＝a1b1＋a2b2＋…＋a20b20‎ ‎＝1×1＋3×31＋5×32＋…＋39×319，‎ ‎3S＝1×31＋3×32＋…＋39×320，‎ 两式相减得 ‎－2S＝1＋2(31＋32＋…＋319)－39×320‎ ‎＝1＋2×－39×320，‎ ‎∴S＝19×320＋1，故选A.]‎ ‎2．(2019·金山中学模拟)数列{an}且an＝若Sn是数列{an}的前n项和，则S2 018＝________.‎ 　[数列{an}且an＝ ‎①当n为奇数时，an＝＝，‎ ‎②当n为偶数时，an＝sin ，‎ 所以S2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)，‎ ‎＝＋(1＋0－1＋…＋0)，‎ ‎＝＋1＝.]‎ 8‎ ‎3．(2019·济南模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1，－1)处标数字0，记为a2；点(0，－1)处标数字－1，记为a3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a4；点(－1,0)处标数字－1，记为a5；点(－1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……；以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所标的数字为i＋j(i，j均为整数)，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S2 018＝________.‎ ‎－249　[设an的坐标为(x，y)，则an＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0，……；以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和也为0.设a2 018在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2 024个数，故S2 024＝0，则S2 018＝S2 024－(a2 024＋a2 023＋…＋a2 019)，a2 024所在点的坐标为(22,22)，a2 024＝22＋22，a2 023所在点的坐标为(21,22)，a2 023＝21＋22，以此类推，可得a2 022＝20＋22，a2 021＝19＋22，a2 020＝18＋22，a2 019＝17＋22，所以a2 024＋a2 023＋…＋a2 019＝249，故S2 018＝－249.]‎ ‎4．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn为数列的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N＋恒成立，求实数λ的最大值．‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，‎ 解得或(舍去)，所以an＝n＋1.‎ ‎(2)由(1)知＝－，‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝－＝.‎ 又λTn≤an＋1恒成立，‎ 8‎ 所以λ≤＝2＋8，‎ 而2＋8≥16，当且仅当n＝2时等号成立．‎ 所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)‎ A．440 B．330‎ C．220 D．110‎ A　[设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.‎ 由题意知，N>100，‎ 令＞100⇒n≥14且n∈N＋，‎ 即N出现在第13组之后．‎ 第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.‎ 设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N＋，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，‎ 则N＝＋5＝440.‎ 故选A.]‎ ‎2．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式；‎ ‎(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.‎ 8‎ ‎[解]　(1)设数列{xn}的公比为q，由已知知q＞0.‎ 由题意得 所以3q2－5q－2＝0.‎ 因为q＞0，所以q＝2，x1＝1.‎ 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.‎ ‎(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.‎ 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，‎ 记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，‎ 由题意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①‎ ‎2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②‎ ‎①－②得 ‎－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.‎ 所以Tn＝.‎ 8‎