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文档介绍
高考文科数学专题复习练习3平面向量的线性运算及几何意义
65 平面向量的线性运算及几何意义 7.(2015辽宁锦州二模,文7,平面向量的线性运算及几何意义,选择题)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为( ) A.37 B.13 C.6 D.127 解析:∵AP=λAB+AC,且AP⊥BC, ∴AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=AC2-λAB2+(λ-1)AB·AC=0. 又向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=2,|AC|=3, ∴AB·AC=|AB||AC|cos 120°=2×3×-12=-3. ∴32-λ·22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=127. 答案:D 67 平面向量基本定理的应用 5.(2015河南商丘二模,文5,平面向量基本定理的应用,选择题)如图,在△ABC中,已知BC=3DC,则AD=( ) A.23AB+13AC B.23AB-13AC C.13AB+23AC D.13AB-23AC 解析:∵BC=AC-AB,DC=AC-AD, ∴由已知BC=3DC,得AC-AB=3(AC-AD), 化简AD=13AB+23AC. 答案:C 68 平面向量的坐标运算 6.(2015辽宁大连二模,文6,平面向量的坐标运算,选择题)在△ABC中,D为BC边的中点,若BC=(2,0),AC=(1,4),则AD=( ) A.(-2,-4) B.(0,-4) C.(2,4) D.(0,4) 解析:AD=AC-DC=AC-12BC=(1,4)-12(2,0)=(1,4)-(1,0)=(0,4). 答案:D 8.(2015宁夏银川一中二模,文8,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量OA=(4,6),OB=(3,5),且OC⊥OA,AC∥OB,则向量OC等于( ) A.-37,27 B.-27,421 C.37,-27 D.27,-421 解析:设C(x,y),OC⊥OA⇒4x+6y=0, AC∥OB⇒5(x-4)-3(y-6)=0, 联立解得D27,-421. 答案:D 70 平面向量数量积的运算 3.(2015辽宁锦州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),点P在x轴上,则AP·BP取最小值时P点坐标是( ) A.(-3,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0) 解析:设P(a,0),向量OA=(2,2),OB=(4,1), 则AP·BP=(a-2,-2)·(a-4,-1)=a2-6a+10=(a-3)2+1≤1, 当a=3时,取得最小值.所以P点坐标是(3,0). 答案:D 10.(2015辽宁沈阳一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,若|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则AE·AF=( ) A.89 B.109 C.259 D.269 解析:若|AB+AC|=|AB-AC|, 则AB2+AC2+2AB·AC=AB2+AC2-2AB·AC, 即有AB·AC=0. 又E,F为BC边的三等分点, 则AE·AF=(AC+CE)·(AB+BF)=AC+13CB·AB+13BC =23AC+13AB·13AC+23AB =29AC2+29AB2+59AB·AC =29×(1+4)+0=109. 答案:B 16.(2015辽宁沈阳四校联考,文16,平面向量数量积的运算,填空题)在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且∠AOB=60°.若OA·OB=6,则|OG|的最小值是 . 解析:设AB的中点为C,则点G在OC上, 且OG=23OC=23·OA+OB2=13(OA+OB), ∵OA·OB=|OA|·|OB|·cos 60°=6, ∴|OA|·|OB|=12. ∴|OG|=13(|OA+OB|)=13(OA+OB)2 =13OA2+OB2+2OA·OB =13|OA|2+|OB|2+12 ≥132|OA|·|OB|+12 =13×2×12+12=2, 当且仅当|OA|=|OB|时,等号成立,故|OG|的最小值是2. 答案:2 5.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( ) A.2 B.23 C.4 D.12 解析:∵|a+2b|=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2 =|a|2+4|a||b|cos+4|b|2 =22+4×2×1×cos120°+4×1=2. 答案:A 3.(2015河南开封二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于( ) A.20 B.(-10,30) C.54 D.(-8,24) 解析:∵a·b=1×(-3)+2×4=5, a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), ∴(a·b)·(a+b)=5(-2,6)=(-10,30). 答案:B 16.(2015河南开封二模,文16,平面向量数量积的运算,填空题)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c与向量a,b共面,且满足|a-b-c|=1,则|c|的取值范围是 . 解析:由a,b是单位向量,a·b=0, 可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), ∵向量c满足|c-a+b|=1, ∴|(x-1,y+1)|=1. ∴(x-1)2+(y+1)2=1, 即(x-1)2+(y+1)2=1. 其圆心C(1,-1),半径r=1. ∴|OC|=2.∴2-1≤|c|=x2+y2≤2+1. ∴|c|的取值范围是[2-1,2+1]. 答案:[2-1,2+1] 16.(2015河南洛阳二模,文16,平面向量数量积的运算,解答题)在△ABC中,已知sin(A+B)=sin B+sin(A-B). (1)求∠A; (2)若AB·AC=20,求|BC|的最小值. 解:(1)原式可化为:sin B=sin(A+B)-sin(A-B) =sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B+cos Asin B =2cos Asin B, ∵B∈(0,π),∴sin B>0. ∴cos A=12.∴∠A=60°. (2)∵AB·AC=20,∴AB·AC·cos∠A=20,AB·AC=40. 则|BC|=BC=AB2+AC2-2AB·AC·cos60° ≥2AB·AC-AB·AC=AB·AC=210, 当且仅当AB=AC时,取等号, 即△ABC为等边三角形时,|BC|取得最小值为210. 5.(2015河南洛阳一模,文5,平面向量数量积的运算,选择题)设等边△ABC边长为6,若BC=3BE,AD=DC,则BD·AE等于( ) A.-621 B.621 C.-18 D.18 解析:∵等边△ABC边长为6,若BC=3BE,AD=DC, ∴BD=12(BA+BC),AE=13BC-BA. ∴BD·AE=1213BC2-BA2-23BC·BA =12×13×36-36-23×6×6×12=-18. 答案:C 10.(2015河南郑州一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)已知函数f(x)=Asin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD+BE)·(BE-CE)的值为( ) A.-1 B.-12 C.12 D.2 解析:∵函数f(x)=sin(2πx+φ)的周期T=2ππ=2, 则BC=T2=1,则C点是一个对称中心, 则根据向量的平行四边形法则可知:BD+BE=2BC,BE-CE=BC, ∴(BD+BE)·(BE-CE)=2BC·BC=2|BC|2=2×12=2. 答案:D 12.(2015河南郑州一模,文12,平面向量数量积的运算,选择题)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=2,则CM·CN的取值范围为( ) A.[3,6] B.[4,6] C.2,52 D.[2,4] 解析:以C为坐标原点,CA为x轴建立平面坐标系, 则A(3,0),B(0,3), 则AB所在直线的方程为:x3+y3=1,即y=3-x. 设N(a,3-a),M(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b, ∵MN=2,∴(a-b)2+(b-a)2=2. ∴a-b=1.∴a=b+1. ∴0≤b≤2. ∴CM·CN=(a,3-a)·(b,3-b) =2ab-3(a+b)+9 =2(b2-2b+3)=2(b-1)2+4,0≤b≤2, ∴当b=0或b=2时有最大值6; 当b=1时有最小值4. ∴CM·CN的取值范围为[4,6] 答案:B 3.(2015辽宁大连一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知|a|=1,|b|=2,且a⊥b,则|a+b|为( ) A.2 B.3 C.2 D.22 解析:∵a⊥b,∴a·b=0. ∴|a+b|=(a+b)2=3. 答案:B 4.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析:设向量a与b的夹角为θ. ∵(a+b)⊥(2a-b), ∴(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b =2×12-(2)2+1×2×cos θ=0. 解得cos θ=0, ∵θ∈[0,π],∴θ=90°. 答案:C 9.(2015河南商丘二模,文9,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,已知|AB|=4,|AC|=1,S△ABC=3,则AB·AC的值为( ) A.-2 B.2 C.±4 D.±2 解析:∵S△ABC=3=12|AB||AC|sin A, ∴sin A=32.∴cos A=±12. ∴AB·AC=|AB|×|AC|×cos A =4×1×±12=±2. 答案:D 4.(2015辽宁丹东二模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a+b|=( ) A.5 B.2 C.3 D.1 解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2, ∴|a+b|=a2+b2=12+22=5. 答案:A 5.(2015河南中原名校联盟模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则n2的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:向量a=(1,n),b=(-1,n), 则2a-b=(3,n),若2a-b与b垂直, 则(2a-b)·b=0, 则有-3+n2=0,n2=3. 答案:C 72 平面向量数量积的应用 6.(2015河南开封定位模拟,文6,平面向量数量积的应用,选择题)若|a|=2,|b|=2,(a-b)⊥a,则a,b的夹角是( ) A.5π12 B.π3 C.π6 D.π4 解析:由题意可得(a-b)·a=a2-a·b=0, 设a与b的夹角为θ,代入数据可得2 2-2×2cos θ=0,即cos θ=22, 又θ∈[0,π],故θ=π4. 答案:D 8.(2015河南商丘一模,文8,平面向量数量积的应用,选择题)已知平面向量a,b,满足a=(1,3),|b|=3,a⊥(a-2b),则|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:∵a=(1,3),∴|a|=2. 又|b|=3,a⊥(a-2b), ∴a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0. ∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=0+9=9. ∴|a-b|=3. 答案:B查看更多